一辺の長さが2の正方形ABCDにおいて、辺CDの中点をEとするとき、以下のベクトルの内積を求めよ。 (1) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$ (2) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ (3) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}$ (4) $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE}$

幾何学ベクトル内積正方形
2025/7/20

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正方形ABCDにおいて、辺CDの中点をEとするとき、以下のベクトルの内積を求めよ。
(1) ABBC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}
(2) ABAC\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}
(3) ABCD\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}
(4) ABAE\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE}

2. 解き方の手順

正方形ABCDの頂点Aを原点とし、AB\overrightarrow{AB}をx軸正方向、AD\overrightarrow{AD}をy軸正方向にとる。
すると、A(0,0), B(2,0), C(2,2), D(0,2), E(1,2)となる。
(1) AB=(2,0)\overrightarrow{AB} = (2,0), BC=(0,2)\overrightarrow{BC} = (0,2)
ABBC=(2)(0)+(0)(2)=0\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (2)(0) + (0)(2) = 0
(2) AB=(2,0)\overrightarrow{AB} = (2,0), AC=(2,2)\overrightarrow{AC} = (2,2)
ABAC=(2)(2)+(0)(2)=4\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (2)(2) + (0)(2) = 4
(3) AB=(2,0)\overrightarrow{AB} = (2,0), CD=(2,0)\overrightarrow{CD} = (-2,0)
ABCD=(2)(2)+(0)(0)=4\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = (2)(-2) + (0)(0) = -4
(4) AB=(2,0)\overrightarrow{AB} = (2,0), AE=(1,2)\overrightarrow{AE} = (1,2)
ABAE=(2)(1)+(0)(2)=2\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AE} = (2)(1) + (0)(2) = 2

3. 最終的な答え

(1) 0
(2) 4
(3) -4
(4) 2

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