点$(2, -1, 6)$を通り、ベクトル$(3, 1, -1)$に垂直な平面と、直線 $\frac{x}{-2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z}{2}$ の交点を求めます。

## 問題7

1. 問題の内容

点$(2, -1, 6)$を通り、ベクトル$(3, 1, -1)$に垂直な平面と、直線 $\frac{x}{-2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z}{2}$ の交点を求めます。

2. 解き方の手順

* まず、平面の方程式を求めます。平面は点$(2, -1, 6)$を通り、法線ベクトルが$(3, 1, -1)$なので、平面の方程式は次のようになります。

$3(x - 2) + 1(y + 1) - 1(z - 6) = 0$

$3x - 6 + y + 1 - z + 6 = 0$

$3x + y - z + 1 = 0$

* 次に、直線の方程式をパラメータ表示します。$\frac{x}{-2} = \frac{y-2}{3} = \frac{z}{2} = t$とおくと、

$x = -2t$

$y = 3t + 2$

$z = 2t$

* このパラメータ表示を平面の方程式に代入して、$t$を求めます。

$3(-2t) + (3t + 2) - (2t) + 1 = 0$

$-6t + 3t + 2 - 2t + 1 = 0$

$-5t + 3 = 0$

$t = \frac{3}{5}$

* 求めた$t$の値を直線の方程式に代入して、交点の座標を求めます。

$x = -2(\frac{3}{5}) = -\frac{6}{5}$

$y = 3(\frac{3}{5}) + 2 = \frac{9}{5} + 2 = \frac{19}{5}$

$z = 2(\frac{3}{5}) = \frac{6}{5}$

3. 最終的な答え

交点の座標は$(-\frac{6}{5}, \frac{19}{5}, \frac{6}{5})$です。

## 問題8

1. 問題の内容

点$C(4, 1, -3)$を通りベクトル$(2, 2, -1)$に平行な直線と、点$C(4, 1, -3)$を中心とする半径6の球との交点を求めます。

2. 解き方の手順

* まず、直線の方程式をパラメータ表示します。直線は点$(4, 1, -3)$を通り、方向ベクトルが$(2, 2, -1)$なので、直線の方程式は次のようになります。

$x = 4 + 2t$

$y = 1 + 2t$

$z = -3 - t$

* 次に、球の方程式を記述します。点$C(4, 1, -3)$を中心とする半径6の球の方程式は次のようになります。

$(x - 4)^2 + (y - 1)^2 + (z + 3)^2 = 6^2$

$(x - 4)^2 + (y - 1)^2 + (z + 3)^2 = 36$

* パラメータ表示された直線の方程式を球の方程式に代入します。

$(4 + 2t - 4)^2 + (1 + 2t - 1)^2 + (-3 - t + 3)^2 = 36$

$(2t)^2 + (2t)^2 + (-t)^2 = 36$

$4t^2 + 4t^2 + t^2 = 36$

$9t^2 = 36$

$t^2 = 4$

$t = \pm 2$

* $t$の値を直線の方程式に代入して、交点の座標を求めます。

$t = 2$の場合：

$x = 4 + 2(2) = 8$

$y = 1 + 2(2) = 5$

$z = -3 - 2 = -5$

交点は$(8, 5, -5)$

$t = -2$の場合：

$x = 4 + 2(-2) = 0$

$y = 1 + 2(-2) = -3$

$z = -3 - (-2) = -1$

交点は$(0, -3, -1)$

3. 最終的な答え

交点の座標は$(8, 5, -5)$と$(0, -3, -1)$です。