問題は、円すいの底面の周上の点Aを出発し、側面上を1周して点Aに戻るまでの最短距離を求めるものです。

1. 問題の内容

問題は、円すいの底面の周上の点Aを出発し、側面上を1周して点Aに戻るまでの最短距離を求めるものです。

2. 解き方の手順

円すいの側面を展開すると扇形になります。点Aから出発して点Aに戻る最短距離は、展開図である扇形上で点Aから点Aを結ぶ直線になります。この直線は、円すいの母線２つでできる三角形の底辺の長さに相当します。

円すいの底面の半径を $r$、母線の長さを $l$ とすると、底面の円周は $2\pi r$です。問題文の図から、円すいの表面積が $63\pi \text{cm}^2$ であることがわかります。円すいの表面積は、底面積 $S_{base}$ と側面積 $S_{side}$ の和で表されます。

$S_{base} = \pi r^2$

$S_{side} = \pi r l$

したがって、円すいの表面積は

$S = S_{base} + S_{side} = \pi r^2 + \pi r l = \pi r (r+l)$

問題文から $S = 63\pi$ なので、

$\pi r (r+l) = 63\pi$

$r(r+l) = 63$

また、問題文の図から、底面の円周の長さが $2\pi \times 3 = 6\pi$ と読み取れます。したがって $r = 3$ です。

$3(3+l) = 63$

$3+l = 21$

$l = 18$

求める最短距離は、母線が18の二等辺三角形の底辺の長さに相当します。扇形の中心角を$\theta$とすると、扇形の弧の長さは $l\theta$ であり、これは底面の円周 $2\pi r$ に等しいので、$l\theta = 2\pi r$ より、

$18\theta = 2\pi (3)$

$\theta = \frac{6\pi}{18} = \frac{\pi}{3}$

扇形の中心角 $\theta$ が $\frac{\pi}{3}$ であることから、点Aから点Aへの最短距離は、母線長 $l = 18$ の正三角形の辺の長さに等しくなります。

3. 最終的な答え

$18$