正四面体ABCDにおいて、底面$\triangle BCD$の重心を$G$とする。このとき、直線$AG$が底面$BCD$に垂直であることをベクトルを用いて示す。

1. 問題の内容

正四面体ABCDにおいて、底面$\triangle BCD$の重心を$G$とする。このとき、直線$AG$が底面$BCD$に垂直であることをベクトルを用いて示す。

2. 解き方の手順

$\overrightarrow{AB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{AC} = \vec{c}$, $\overrightarrow{AD} = \vec{d}$とおく。

$G$は$\triangle BCD$の重心なので、

$$\overrightarrow{AG} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}}{3} = \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3}$$

$\overrightarrow{BG} = \overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AB} = \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3} - \vec{b} = \frac{-2\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3}$

$\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AC} = \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3} - \vec{c} = \frac{\vec{b} - 2\vec{c} + \vec{d}}{3}$

$\overrightarrow{DG} = \overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AD} = \frac{\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{3} - \vec{d} = \frac{\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{d}}{3}$

正四面体なので、$|\vec{b}| = |\vec{c}| = |\vec{d}| = k$ (定数)とおくと、

$\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{d} = \vec{d} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} k^2$

ここで、$\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{BG} = 0$, $\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{CG} = 0$, $\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{DG} = 0$を示すことができれば良い。

$\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{BG} = \frac{1}{3} (\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) \cdot \frac{1}{3} (-2\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) = \frac{1}{9} (-2|\vec{b}|^2 + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{d} - 2\vec{c} \cdot \vec{b} + |\vec{c}|^2 + \vec{c} \cdot \vec{d} - 2\vec{d} \cdot \vec{b} + \vec{d} \cdot \vec{c} + |\vec{d}|^2) = \frac{1}{9} (-2k^2 + \frac{1}{2}k^2 + \frac{1}{2}k^2 - 2(\frac{1}{2}k^2) + k^2 + \frac{1}{2}k^2 - 2(\frac{1}{2}k^2) + \frac{1}{2}k^2 + k^2) = \frac{1}{9} (-2k^2 + k^2 + k^2 - k^2 + k^2) = 0$

同様に、

$\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{CG} = \frac{1}{3} (\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) \cdot \frac{1}{3} (\vec{b} - 2\vec{c} + \vec{d}) = \frac{1}{9} (|\vec{b}|^2 - 2\vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{d} + \vec{c} \cdot \vec{b} - 2|\vec{c}|^2 + \vec{c} \cdot \vec{d} + \vec{d} \cdot \vec{b} - 2\vec{d} \cdot \vec{c} + |\vec{d}|^2) = \frac{1}{9} (k^2 - 2(\frac{1}{2}k^2) + \frac{1}{2}k^2 + \frac{1}{2}k^2 - 2k^2 + \frac{1}{2}k^2 + \frac{1}{2}k^2 - 2(\frac{1}{2}k^2) + k^2) = \frac{1}{9} (2k^2 - 2k^2 - 2k^2) = 0$

$\overrightarrow{AG} \cdot \overrightarrow{DG} = \frac{1}{3} (\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) \cdot \frac{1}{3} (\vec{b} + \vec{c} - 2\vec{d}) = \frac{1}{9} (|\vec{b}|^2 + \vec{b} \cdot \vec{c} - 2\vec{b} \cdot \vec{d} + \vec{c} \cdot \vec{b} + |\vec{c}|^2 - 2\vec{c} \cdot \vec{d} + \vec{d} \cdot \vec{b} + \vec{d} \cdot \vec{c} - 2|\vec{d}|^2) = \frac{1}{9} (k^2 + \frac{1}{2}k^2 - k^2 + \frac{1}{2}k^2 + k^2 - k^2 + \frac{1}{2}k^2 + \frac{1}{2}k^2 - 2k^2) = \frac{1}{9} (3k^2 - 3k^2) = 0$

したがって、$\overrightarrow{AG} \perp \overrightarrow{BG}$, $\overrightarrow{AG} \perp \overrightarrow{CG}$, $\overrightarrow{AG} \perp \overrightarrow{DG}$であるから、直線$AG$は底面$BCD$に垂直である。

3. 最終的な答え

直線$AG$は底面$BCD$に垂直である。