与えられた2つの球の方程式について、それぞれの中心の座標と半径を求める。 (1) $x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 2y + 8z - 4 = 0$ (2) $x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 4z + 5 = 0$

1. 問題の内容

与えられた2つの球の方程式について、それぞれの中心の座標と半径を求める。

(1) $x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 2y + 8z - 4 = 0$

(2) $x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 4z + 5 = 0$

2. 解き方の手順

球の方程式は、一般的に $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$ という形で表されます。ここで、$(a, b, c)$は球の中心の座標、$r$は半径です。与えられた方程式をこの形に変形することで、中心と半径を求めることができます。平方完成を利用します。

(1) $x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 2y + 8z - 4 = 0$ を変形します。

まず、$x, y, z$ についてそれぞれ平方完成を行います。

$(x^2 - 4x) + (y^2 - 2y) + (z^2 + 8z) = 4$

$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) + (z^2 + 8z + 16) = 4 + 4 + 1 + 16$

$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 + (z + 4)^2 = 25$

したがって、中心は $(2, 1, -4)$、半径は $\sqrt{25} = 5$ となります。

(2) $x^2 + y^2 + z^2 + 6x - 4z + 5 = 0$ を変形します。

同様に、$x, y, z$ についてそれぞれ平方完成を行います。

$(x^2 + 6x) + y^2 + (z^2 - 4z) = -5$

$(x^2 + 6x + 9) + y^2 + (z^2 - 4z + 4) = -5 + 9 + 4$

$(x + 3)^2 + y^2 + (z - 2)^2 = 8$

したがって、中心は $(-3, 0, 2)$、半径は $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) 中心：(2, 1, -4), 半径：5

(2) 中心：(-3, 0, 2), 半径：$2\sqrt{2}$