平行四辺形ABCDにおいて、対角線ACを2:3に内分する点をM、辺ABを2:3に内分する点をN、辺BCをt:(1-t)に内分する点をLとする。ALとCNの交点をPとする。 (1) $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}$とするとき、$\overrightarrow{BP}$を$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{c}$, $t$を用いて表せ。 (2) 3点P, M, Dが一直線上にあるとき、$t$の値を求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、対角線ACを2:3に内分する点をM、辺ABを2:3に内分する点をN、辺BCをt:(1-t)に内分する点をLとする。ALとCNの交点をPとする。

(1) $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}$とするとき、$\overrightarrow{BP}$を$\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{c}$, $t$を用いて表せ。

(2) 3点P, M, Dが一直線上にあるとき、$t$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\overrightarrow{AL}$と$\overrightarrow{CN}$を$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{c}$、 $t$を用いて表します。

$\overrightarrow{AL} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BL} = -\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{CN} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BN} = -\overrightarrow{c} + \frac{2}{5}\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{c} + \frac{2}{5}\overrightarrow{a}$

次に、AP:PL=s:(1-s)、CP:PN=u:(1-u) とおくと、

$\overrightarrow{AP} = s\overrightarrow{AL} = s(-\overrightarrow{a} + t\overrightarrow{c}) = -s\overrightarrow{a} + st\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{CP} = u\overrightarrow{CN} = u(-\overrightarrow{c} + \frac{2}{5}\overrightarrow{a}) = \frac{2}{5}u\overrightarrow{a} - u\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{a} + (-s\overrightarrow{a} + st\overrightarrow{c}) = (1-s)\overrightarrow{a} + st\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CP} = \overrightarrow{c} + (\frac{2}{5}u\overrightarrow{a} - u\overrightarrow{c}) = \frac{2}{5}u\overrightarrow{a} + (1-u)\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$は一次独立なので、

$1-s = \frac{2}{5}u$ かつ $st = 1-u$

$s = 1 - \frac{2}{5}u$を$st = 1-u$に代入すると、$(1-\frac{2}{5}u)t = 1-u$.

$t - \frac{2}{5}ut = 1-u$

$5t - 2ut = 5-5u$

$5t-5 = 2ut - 5u = u(2t-5)$

$u = \frac{5(t-1)}{2t-5}$

$s = 1 - \frac{2}{5} \cdot \frac{5(t-1)}{2t-5} = 1 - \frac{2(t-1)}{2t-5} = \frac{2t-5-2t+2}{2t-5} = \frac{-3}{2t-5}$

よって、$\overrightarrow{BP} = (1-s)\overrightarrow{a} + st\overrightarrow{c} = (1-\frac{-3}{2t-5})\overrightarrow{a} + (\frac{-3}{2t-5})t\overrightarrow{c} = (\frac{2t-5+3}{2t-5})\overrightarrow{a} - \frac{3t}{2t-5}\overrightarrow{c} = \frac{2t-2}{2t-5}\overrightarrow{a} - \frac{3t}{2t-5}\overrightarrow{c}$

(2) $\overrightarrow{AM} = \frac{2}{5}\overrightarrow{AC} = \frac{2}{5}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) = \frac{2}{5}(-\overrightarrow{a} + \overrightarrow{c}) = -\frac{2}{5}\overrightarrow{a} + \frac{2}{5}\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{MP} = k\overrightarrow{MD}$ となる実数kが存在する。

$\overrightarrow{OP} = (1-k)\overrightarrow{OM} + k\overrightarrow{OD}$

$\overrightarrow{BP} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AP} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{AM} + k\overrightarrow{MD} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{AM} + k(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AM}) = (1-k)\overrightarrow{AM} + k\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{a} = (1-k)(-\frac{2}{5}\overrightarrow{a} + \frac{2}{5}\overrightarrow{c}) + k\overrightarrow{c} + \overrightarrow{a} = (1 + \frac{2}{5}k - \frac{2}{5})\overrightarrow{a} + (\frac{2}{5} - \frac{2}{5}k + k)\overrightarrow{c} = (\frac{3+2k}{5})\overrightarrow{a} + (\frac{2+3k}{5})\overrightarrow{c}$

$\overrightarrow{BP} = \frac{2t-2}{2t-5}\overrightarrow{a} - \frac{3t}{2t-5}\overrightarrow{c}$ と比較すると、

$\frac{3+2k}{5} = \frac{2t-2}{2t-5}$ かつ $\frac{2+3k}{5} = -\frac{3t}{2t-5}$

$(3+2k)(2t-5) = 5(2t-2)$

$6t - 15 + 4kt - 10k = 10t - 10$

$4kt - 10k - 4t = 5$

$(2+3k)(2t-5) = -15t$

$4t - 10 + 6kt - 15k = -15t$

$6kt - 15k + 19t = 10$

$4kt - 10k - 4t = 5$

$6kt - 15k + 19t = 10$

3倍: $12kt - 30k - 12t = 15$

2倍: $12kt - 30k + 38t = 20$

引き算: $-12t - 38t = 15-20$

$-50t = -5$

$t = \frac{1}{10}$

3. 最終的な答え

$t = \frac{1}{10}$