平行四辺形ABCDにおいて、Aから辺BCに下ろした垂線をAHとする。AC = 2, BC = 3, 平行四辺形ABCDの面積が$3\sqrt{3}$であるとき、以下の値を求める。 (1) 線分AHの長さ (2) 角BCAの大きさ (3) 線分BDの長さ

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、Aから辺BCに下ろした垂線をAHとする。AC = 2, BC = 3, 平行四辺形ABCDの面積が$3\sqrt{3}$であるとき、以下の値を求める。

(1) 線分AHの長さ

(2) 角BCAの大きさ

(3) 線分BDの長さ

2. 解き方の手順

(1) 線分AHの長さ

平行四辺形ABCDの面積は、底辺BCと高さAHの積で表される。したがって、

$BC \times AH = 3\sqrt{3}$

$3 \times AH = 3\sqrt{3}$

$AH = \sqrt{3}$

(2) 角BCAの大きさ

三角形AHCにおいて、$\sin(\angle BCA) = \frac{AH}{AC}$が成り立つ。

$\sin(\angle BCA) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、$\angle BCA = 60^\circ$

(3) 線分BDの長さ

余弦定理を用いてABの長さを求める。平行四辺形なので$AD = BC = 3$である。また、$\angle ACB = 60^{\circ}$なので、$\angle BAC = 180^{\circ} - \angle ABC - \angle ACB$となる。平行四辺形の対角は等しいので、$\angle ABC + \angle BCD = 180^{\circ}$。さらに、$\angle BCA = 60^{\circ}$。したがって、$\angle BCD$は$60^{\circ}$ではないので、$\angle ACB = 60^{\circ}$。

$\angle ABC = 180^{\circ} - \angle BCD$

$\angle BCD = 60^\circ + \angle ACD$

$\angle BCA = 60^\circ$

三角形ABCにおいて、余弦定理より、

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \times AC \times BC \times \cos(\angle BCA)$

$AB^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \times 2 \times 3 \times \cos(60^\circ)$

$AB^2 = 4 + 9 - 12 \times \frac{1}{2}$

$AB^2 = 13 - 6 = 7$

$AB = \sqrt{7}$

平行四辺形の対角線の性質より、$AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + BC^2)$が成り立つ。

$2^2 + BD^2 = 2((\sqrt{7})^2 + 3^2)$

$4 + BD^2 = 2(7 + 9)$

$4 + BD^2 = 2(16)$

$4 + BD^2 = 32$

$BD^2 = 28$

$BD = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$

3. 最終的な答え

(1) 線分AHの長さ: $\sqrt{3}$

(2) 角BCAの大きさ: $60^\circ$

(3) 線分BDの長さ: $2\sqrt{7}$