AさんとBさんが7枚のカードを使ってゲームを行います。カードには1から7までの数字が書かれています。AさんとBさんは交互にカードを取り、最後に3枚のカードを残します。Aさんは、残った3枚のカードの数の和が3の倍数にならないように、Bさんは、残った3枚のカードの数の和が3の倍数になるようにカードを取ります。 (1) 3回目にAさんがカードを取り終えたとき、残ったカードが1, 3, 4, 7でした。次にBさんが取るべきカードの数字を求めます。 (2) 2回目にBさんがカードを取り終えたとき、残ったカードが1, 3, 5, 6, 7でした。次にAさんが取るべきカードの数字を求め、その理由を3で割った余りに着目して説明します。
2025/4/3
1. 問題の内容
AさんとBさんが7枚のカードを使ってゲームを行います。カードには1から7までの数字が書かれています。AさんとBさんは交互にカードを取り、最後に3枚のカードを残します。Aさんは、残った3枚のカードの数の和が3の倍数にならないように、Bさんは、残った3枚のカードの数の和が3の倍数になるようにカードを取ります。
(1) 3回目にAさんがカードを取り終えたとき、残ったカードが1, 3, 4, 7でした。次にBさんが取るべきカードの数字を求めます。
(2) 2回目にBさんがカードを取り終えたとき、残ったカードが1, 3, 5, 6, 7でした。次にAさんが取るべきカードの数字を求め、その理由を3で割った余りに着目して説明します。
2. 解き方の手順
(1) 残ったカードは1, 3, 4, 7です。次にBさんが取るカードを考えます。Bさんは、残った3枚の和が3の倍数になるようにカードを取らなければなりません。
- Bさんが1を取った場合、残るカードは3, 4, 7。和は 3+4+7 = 14となり、3の倍数ではありません。
- Bさんが3を取った場合、残るカードは1, 4, 7。和は 1+4+7 = 12となり、3の倍数です。
- Bさんが4を取った場合、残るカードは1, 3, 7。和は 1+3+7 = 11となり、3の倍数ではありません。
- Bさんが7を取った場合、残るカードは1, 3, 4。和は 1+3+4 = 8となり、3の倍数ではありません。
したがって、Bさんが取るべきカードは3です。
(2) 残ったカードは1, 3, 5, 6, 7です。次にAさんが取るカードを考えます。Aさんは、残った3枚の和が3の倍数にならないようにカードを取らなければなりません。
まず、各数字を3で割った余りを求めます。
- 1 ÷ 3 = 0 あまり 1
- 3 ÷ 3 = 1 あまり 0
- 5 ÷ 3 = 1 あまり 2
- 6 ÷ 3 = 2 あまり 0
- 7 ÷ 3 = 2 あまり 1
Aさんが取るカードごとに、残った4枚のカードから3枚を選んだ時の和を3で割った余りを計算します。Aさんは、全ての選び方において3の倍数にならないようなカードを取る必要があります。
- Aさんが1を取った場合：残るカードは3, 5, 6, 7。3で割った余りは0, 2, 0, 1。
- 3, 5, 6：0+2+0=2 (3の倍数ではない)
- 3, 5, 7：0+2+1=3 (3の倍数)
Aさんが1を取ると、残る3枚の和が3の倍数になる場合があります。
- Aさんが3を取った場合：残るカードは1, 5, 6, 7。3で割った余りは1, 2, 0, 1。
- 1, 5, 6：1+2+0=3 (3の倍数)
Aさんが3を取ると、残る3枚の和が3の倍数になる場合があります。
- Aさんが5を取った場合：残るカードは1, 3, 6, 7。3で割った余りは1, 0, 0, 1。
- 1, 3, 6：1+0+0=1 (3の倍数ではない)
- 1, 3, 7：1+0+1=2 (3の倍数ではない)
- 1, 6, 7：1+0+1=2 (3の倍数ではない)
- 3, 6, 7：0+0+1=1 (3の倍数ではない)
Aさんが5を取ると、残る3枚の和が3の倍数にはなりません。
- Aさんが6を取った場合：残るカードは1, 3, 5, 7。3で割った余りは1, 0, 2, 1。
- 1, 3, 5：1+0+2=3 (3の倍数)
Aさんが6を取ると、残る3枚の和が3の倍数になる場合があります。
- Aさんが7を取った場合：残るカードは1, 3, 5, 6。3で割った余りは1, 0, 2, 0。
- 1, 3, 5：1+0+2=3 (3の倍数)
Aさんが7を取ると、残る3枚の和が3の倍数になる場合があります。
したがって、Aさんが取るべきカードは5です。
3. 最終的な答え
(1) 3
(2) 5。理由は、5以外のカードを残すと、残る3枚のカードの和が常に3の倍数にならないため。