三角形ABCにおいて、BC=7, CA=3, AB=5である。 (1) 三角形ABCの面積Sを求めよ。 (2) 三角形ABCの外接円の半径Rを求めよ。 (3) 三角形ABCの内接円の半径rを求めよ。 (4) 外接円の半径Rの公式 $R = \sqrt{\frac{\Box S}{\Box \sin A \sin B \sin C}}$ の $\Box$ の中に数字を入れよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、BC=7, CA=3, AB=5である。

(1) 三角形ABCの面積Sを求めよ。

(2) 三角形ABCの外接円の半径Rを求めよ。

(3) 三角形ABCの内接円の半径rを求めよ。

(4) 外接円の半径Rの公式 $R = \sqrt{\frac{\Box S}{\Box \sin A \sin B \sin C}}$ の $\Box$ の中に数字を入れよ。

2. 解き方の手順

(1) 面積Sの計算

ヘロンの公式を用いる。$s = \frac{a+b+c}{2}$ とすると、$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ となる。

この問題の場合、$a=7$, $b=3$, $c=5$ なので、$s = \frac{7+3+5}{2} = \frac{15}{2}$

したがって、$S = \sqrt{\frac{15}{2}(\frac{15}{2}-7)(\frac{15}{2}-3)(\frac{15}{2}-5)} = \sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{5}{2}} = \sqrt{\frac{675}{16}} = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

(2) 外接円の半径Rの計算

正弦定理を用いる。$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

$S = \frac{1}{2}bc\sin A$ より、$\sin A = \frac{2S}{bc} = \frac{2 \cdot \frac{15\sqrt{3}}{4}}{3 \cdot 5} = \frac{\frac{15\sqrt{3}}{2}}{15} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$2R = \frac{a}{\sin A} = \frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{14}{\sqrt{3}} = \frac{14\sqrt{3}}{3}$

$R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

(3) 内接円の半径rの計算

$S = rs$ を用いる。

$r = \frac{S}{s} = \frac{\frac{15\sqrt{3}}{4}}{\frac{15}{2}} = \frac{15\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{2}{15} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(4) 外接円の半径Rの公式

$R = \frac{abc}{4S}$ である。この式を変形する。

正弦定理 $2R = \frac{a}{\sin A}$ より、$a = 2R\sin A$, $b = 2R\sin B$, $c = 2R\sin C$

したがって、$R = \frac{8R^3\sin A \sin B \sin C}{4S} = \frac{2R^3\sin A \sin B \sin C}{S}$

$1 = \frac{2R^2\sin A \sin B \sin C}{S}$

$R^2 = \frac{S}{2\sin A \sin B \sin C}$

$R = \sqrt{\frac{S}{2\sin A \sin B \sin C}}$

画像の式と比較すると、$R = \sqrt{\frac{\Box S}{\Box \sin A \sin B \sin C}}$ なので、$\Box=1$ と $\Box=2$ となる。

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{15\sqrt{3}}{4}$

(2) $R = \frac{7\sqrt{3}}{3}$

(3) $r = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(4) 外接円の半径 R = $\sqrt{\frac{1 S}{2 sin Asin Bsin C}}$