座標平面上の原点をOとし、2点A(3,1), B(1,3)をとる。 $\vec{PA} \cdot \vec{PB} = 0$ を満たす点P(x, y)の軌跡を求め、さらに$|CA| = \sqrt{2}$ となる円周上の点をCとするとき、COとABが交わるようなCの座標を求める問題です。

1. 問題の内容

座標平面上の原点をOとし、2点A(3,1), B(1,3)をとる。

$\vec{PA} \cdot \vec{PB} = 0$ を満たす点P(x, y)の軌跡を求め、さらに$|CA| = \sqrt{2}$ となる円周上の点をCとするとき、COとABが交わるようなCの座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{PA} \cdot \vec{PB} = 0$ を計算します。

$\vec{PA} = (x - 3, y - 1)$

$\vec{PB} = (x - 1, y - 3)$

$\vec{PA} \cdot \vec{PB} = (x - 3)(x - 1) + (y - 1)(y - 3) = 0$

$x^2 - 4x + 3 + y^2 - 4y + 3 = 0$

$x^2 - 4x + y^2 - 4y + 6 = 0$

$x^2 + y^2 = 4x + 4y - 6$

(2) 円の方程式を標準形に変形します。

$x^2 - 4x + y^2 - 4y + 6 = 0$

$(x - 2)^2 - 4 + (y - 2)^2 - 4 + 6 = 0$

$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 2$

したがって、中心は(2, 2)、半径は$\sqrt{2}$の円となります。

(3) $|CA| = \sqrt{2}$となるような点C(x,y)について考えます。Cは円 $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 2$ 上にあるので、C(x, y)は中心(2,2)、半径$\sqrt{2}$の円周上の点です。

$|CA| = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 1)^2} = \sqrt{2}$

$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 2$

$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1 = 2$

$x^2 - 6x + y^2 - 2y + 8 = 0$

Cは2つの円 $(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 2$と$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 2$ の交点です。

(4) 2つの円の交点を求めます。

$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 2$を変形して、$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4 = 2$ すなわち$x^2 - 4x + y^2 - 4y = -6$。

$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 2$を変形して、$x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1 = 2$ すなわち$x^2 - 6x + y^2 - 2y = -8$。

2式の差を取ると、$2x - 2y = 2$より、$x - y = 1$ すなわち、$y = x - 1$。

これを$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 2$に代入すると、$(x - 2)^2 + (x - 1 - 2)^2 = 2$ より、

$(x - 2)^2 + (x - 3)^2 = 2$

$x^2 - 4x + 4 + x^2 - 6x + 9 = 2$

$2x^2 - 10x + 13 = 0$

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4(2)(13)}}{4} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 104}}{4} = \frac{10 \pm \sqrt{-4}}{4}$

判別式が負になるので、実数解を持ちません。

したがって、問題に誤りがあるか、解釈が間違っている可能性があります。

問題文より、COとABが交わる必要があるため、そのようなCの座標を考察します。ABの方程式は傾き$\frac{3-1}{1-3} = -1$, y切片4なので、$y = -x + 4$となります。

円$(x-2)^2 + (y-2)^2 = 2$上の点をC(x,y)とすると、$|CA| = \sqrt{(x-3)^2 + (y-1)^2} = \sqrt{2}$.

COとABが交わるということは、C, O, そして直線ABを表す方程式$x+y-4 = 0$との位置関係が重要です。

Cの座標は、円 $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 2$上の点です。中心(2,2)は直線$y = -x + 4$上にあります。

ABの中点は$(2,2)$なので、Cが点Aに近いほどCOとABは交わりやすくなります。

3. 最終的な答え

ア：4

イ：4

ウ：6

エ：2

オ：2

カ：2

キ：５

ク：ルート２

ケ：3

コ：1

サ：ルート２

シ：