点 $P(-2, 3, 4)$ と直線 $l: \frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{2} = \frac{z+3}{-3}$ の距離を求めよ。

1. 問題の内容

点 $P(-2, 3, 4)$ と直線 $l: \frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{2} = \frac{z+3}{-3}$ の距離を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、直線 $l$ 上の任意の点 $Q$ をパラメータ $t$ を用いて表す。

$\frac{x-1}{1} = \frac{y+2}{2} = \frac{z+3}{-3} = t$

とすると、$x = t+1, y = 2t-2, z = -3t-3$ となる。

したがって、$Q(t+1, 2t-2, -3t-3)$ である。

次に、ベクトル $\vec{PQ}$ を求める。

$\vec{PQ} = (t+1-(-2), 2t-2-3, -3t-3-4) = (t+3, 2t-5, -3t-7)$

ベクトル $\vec{PQ}$ が直線 $l$ の方向ベクトル $\vec{v} = (1, 2, -3)$ と垂直になるように $t$ の値を定める。つまり、内積 $\vec{PQ} \cdot \vec{v} = 0$ を解く。

$(t+3)(1) + (2t-5)(2) + (-3t-7)(-3) = 0$

$t+3 + 4t-10 + 9t+21 = 0$

$14t + 14 = 0$

$t = -1$

$t=-1$ を $\vec{PQ}$ に代入すると、

$\vec{PQ} = (-1+3, 2(-1)-5, -3(-1)-7) = (2, -7, -4)$

求める距離 $d$ は $|\vec{PQ}|$ である。

$d = \sqrt{2^2 + (-7)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 49 + 16} = \sqrt{69}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{69}$