問題は、Sに関する方程式が与えられ、その式を簡略化する必要があるようです。与えられた式は以下の通りです。 $3S = -1 \cdot (-2) - 2 \cdot (-2)^2 - \dots - n \cdot (-2)^n$

1. 問題の内容

問題は、Sに関する方程式が与えられ、その式を簡略化する必要があるようです。与えられた式は以下の通りです。

$3S = -1 \cdot (-2) - 2 \cdot (-2)^2 - \dots - n \cdot (-2)^n$

2. 解き方の手順

この問題は、総和の形で表現すると理解しやすくなります。まず、与えられた式を以下のように書き換えます。

$3S = \sum_{k=1}^{n} -k \cdot (-2)^k$

ここで、$S_n = \sum_{k=1}^{n} k x^k$ という形の総和を考えます。

この総和を計算するために、等比数列の和の公式を利用します。

まず、$S_n = x + 2x^2 + 3x^3 + \dots + nx^n$ と書けます。

次に、$xS_n = x^2 + 2x^3 + 3x^4 + \dots + (n-1)x^n + nx^{n+1}$ を計算します。

$S_n - xS_n = x + x^2 + x^3 + \dots + x^n - nx^{n+1}$

$(1-x)S_n = \sum_{k=1}^{n} x^k - nx^{n+1}$

$\sum_{k=1}^{n} x^k = \frac{x(1-x^n)}{1-x}$ （等比数列の和）

$(1-x)S_n = \frac{x(1-x^n)}{1-x} - nx^{n+1}$

$S_n = \frac{x(1-x^n)}{(1-x)^2} - \frac{nx^{n+1}}{1-x}$

この結果を、元の問題 $3S = \sum_{k=1}^{n} -k \cdot (-2)^k = -\sum_{k=1}^{n} k \cdot (-2)^k$ に適用します。

$x = -2$ とおくと、

$\sum_{k=1}^{n} k \cdot (-2)^k = \frac{-2(1-(-2)^n)}{(1-(-2))^2} - \frac{n(-2)^{n+1}}{1-(-2)}$

$= \frac{-2(1-(-2)^n)}{9} - \frac{n(-2)^{n+1}}{3}$

$= \frac{-2(1-(-2)^n) - 3n(-2)^{n+1}}{9}$

$= \frac{-2 + 2(-2)^n - 3n(-2)^{n+1}}{9}$

したがって、

$3S = -\sum_{k=1}^{n} k \cdot (-2)^k = -\frac{-2 + 2(-2)^n - 3n(-2)^{n+1}}{9} = \frac{2 - 2(-2)^n + 3n(-2)^{n+1}}{9}$

$S = \frac{2 - 2(-2)^n + 3n(-2)^{n+1}}{27}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{2 - 2(-2)^n + 3n(-2)^{n+1}}{27}$