線形変換 $T: V \to V$ に対して、次の同値性を示す問題です。 $T$ が直交変換 $\Leftrightarrow$ 任意の $u \in V$ に対して $\|T(u)\| = \|u\|$ が成り立つ。

1. 問題の内容

線形変換 $T: V \to V$ に対して、次の同値性を示す問題です。

$T$ が直交変換 $\Leftrightarrow$ 任意の $u \in V$ に対して $\|T(u)\| = \|u\|$ が成り立つ。

2. 解き方の手順

($\Rightarrow$) $T$ が直交変換であると仮定します。このとき、$T$ は内積を保存する、つまり任意の $u, v \in V$ に対して $\langle T(u), T(v) \rangle = \langle u, v \rangle$ が成り立ちます。特に、$v = u$ とすると、$\langle T(u), T(u) \rangle = \langle u, u \rangle$ となります。ベクトルのノルムの定義より、$\|u\| = \sqrt{\langle u, u \rangle}$ であるから、$\|T(u)\|^2 = \langle T(u), T(u) \rangle = \langle u, u \rangle = \|u\|^2$ となり、$\|T(u)\| = \|u\|$ が成り立ちます。

($\Leftarrow$) 任意の $u \in V$ に対して $\|T(u)\| = \|u\|$ が成り立つと仮定します。

このとき、任意の $u, v \in V$ に対して、内積を考えることで証明します。

まず、次の恒等式を利用します。

$\langle u, v \rangle = \frac{1}{2}(\|u+v\|^2 - \|u\|^2 - \|v\|^2)$

これは、$\|u+v\|^2 = \langle u+v, u+v \rangle = \langle u, u \rangle + \langle u, v \rangle + \langle v, u \rangle + \langle v, v \rangle = \|u\|^2 + 2\langle u, v \rangle + \|v\|^2$ より導かれます。

仮定より、$\|T(u)\| = \|u\|$ が任意の $u \in V$ について成り立つので、$\|T(u+v)\|=\|u+v\|$, $\|T(u)\|=\|u\|$, $\|T(v)\|=\|v\|$ が成り立ちます。

したがって、

$\langle T(u), T(v) \rangle = \frac{1}{2}(\|T(u)+T(v))\|^2 - \|T(u)\|^2 - \|T(v)\|^2)$

ここで、$T$ は線形変換なので、$T(u+v)=T(u)+T(v)$となり、

$\langle T(u), T(v) \rangle = \frac{1}{2}(\|T(u+v))\|^2 - \|T(u)\|^2 - \|T(v)\|^2)$

$= \frac{1}{2}(\|u+v\|^2 - \|u\|^2 - \|v\|^2) = \langle u, v \rangle$

となり、$T$ は内積を保存することが示されました。よって、$T$ は直交変換です。

3. 最終的な答え

線形変換 $T$ が直交変換であることと、任意のベクトル $u$ に対して $\|T(u)\| = \|u\|$ が成り立つことは同値である。