$x^3 - ax^2 + (2a-3)x + a^2 + a - 1$ が $x^2 - 2x + 1$ で割り切れるような $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$x^3 - ax^2 + (2a-3)x + a^2 + a - 1$ が $x^2 - 2x + 1$ で割り切れるような $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$ であるから、$x^3 - ax^2 + (2a-3)x + a^2 + a - 1$ は $(x-1)^2$ で割り切れるとき、$x=1$ を代入した値が0になり、さらに、その導関数に $x=1$ を代入した値も0になります。

まず、$f(x) = x^3 - ax^2 + (2a-3)x + a^2 + a - 1$ とおきます。

$f(1) = 1 - a + 2a - 3 + a^2 + a - 1 = a^2 + 2a - 3 = 0$

$(a+3)(a-1) = 0$

よって、$a = -3$ または $a = 1$

次に、$f'(x) = 3x^2 - 2ax + 2a - 3$

$f'(1) = 3 - 2a + 2a - 3 = 0$

これは、$a$ の値に関わらず成り立ちます。

$a = -3$ のとき、$f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 5$

これを $x^2 - 2x + 1$ で割ってみます。

```

x + 5

x^2-2x+1 | x^3 + 3x^2 - 9x + 5

x^3 - 2x^2 + x

----------------

5x^2 - 10x + 5

5x^2 - 10x + 5

----------------

0

```

割り切れることが確認できました。

$a = 1$ のとき、$f(x) = x^3 - x^2 - x + 1$

これを $x^2 - 2x + 1$ で割ってみます。

```

x + 1

x^2-2x+1 | x^3 - x^2 - x + 1

x^3 - 2x^2 + x

----------------

x^2 - 2x + 1

x^2 - 2x + 1

----------------

0

```

割り切れることが確認できました。

したがって、$a=-3$ と $a=1$ はどちらも条件を満たします。

3. 最終的な答え

$a = -3, 1$