2直線 $4x+3y+2=0$ と $5x-2y-3=0$ の交点を通る直線で、以下の条件を満たすものを求める。 (1) 点 $A(-1, -2)$ を通る。 (2) 直線 $9x+y+3=0$ に平行である。

1. 問題の内容

2直線 $4x+3y+2=0$ と $5x-2y-3=0$ の交点を通る直線で、以下の条件を満たすものを求める。

(1) 点 $A(-1, -2)$ を通る。

(2) 直線 $9x+y+3=0$ に平行である。

2. 解き方の手順

2直線の交点を通る直線の方程式は、実数 $k$ を用いて

$4x+3y+2 + k(5x-2y-3) = 0$

と表せる。これを整理すると、

$(4+5k)x + (3-2k)y + (2-3k) = 0$

(1) 点 $A(-1, -2)$ を通る場合、この式に $x=-1$, $y=-2$ を代入して $k$ の値を求める。

$(4+5k)(-1) + (3-2k)(-2) + (2-3k) = 0$

$-4-5k -6+4k +2-3k = 0$

$-8-4k=0$

$k=-2$

$k=-2$ を元の式に代入する。

$(4+5(-2))x + (3-2(-2))y + (2-3(-2)) = 0$

$(4-10)x + (3+4)y + (2+6) = 0$

$-6x + 7y + 8 = 0$

(2) 直線 $9x+y+3=0$ に平行な場合、求める直線の傾きは $-9$ である。

直線の式を $y=ax+b$ とおくと、$a=-9$ となる。

$(4+5k)x + (3-2k)y + (2-3k) = 0$

$(3-2k)y = -(4+5k)x - (2-3k)$

$y = -\frac{4+5k}{3-2k}x - \frac{2-3k}{3-2k}$

傾きが $-9$ より、

$-\frac{4+5k}{3-2k} = -9$

$4+5k = 9(3-2k)$

$4+5k = 27-18k$

$23k = 23$

$k=1$

$k=1$ を元の式に代入する。

$(4+5(1))x + (3-2(1))y + (2-3(1)) = 0$

$(4+5)x + (3-2)y + (2-3) = 0$

$9x + y - 1 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $-6x + 7y + 8 = 0$

(2) $9x + y - 1 = 0$