長さが3cm, 4cm, 5cm, 7cm, 8cmの5本の棒があります。 (1) この5本の棒の中から3本を選ぶとき、選び方は全部で何通りありますか。 (2) 選んだ3本の棒で三角形を作れるのは全部で何通りですか。

1. 問題の内容

長さが3cm, 4cm, 5cm, 7cm, 8cmの5本の棒があります。

(1) この5本の棒の中から3本を選ぶとき、選び方は全部で何通りありますか。

(2) 選んだ3本の棒で三角形を作れるのは全部で何通りですか。

2. 解き方の手順

(1) 5本の棒から3本を選ぶ組み合わせを考えます。これは組み合わせの問題なので、

$_{5}C_{3}$を計算します。

$_{5}C_{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3!}{3! \times 2 \times 1} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$

(2) 3本の棒で三角形を作れる条件は、最も長い棒の長さが、他の2本の棒の長さの和よりも短いことです。

すべての組み合わせをリストアップし、三角形が作れるかどうかを調べます。

* (3, 4, 5): 3 + 4 > 5なので、三角形を作れます。

* (3, 4, 7): 3 + 4 < 7なので、三角形を作れません。

* (3, 4, 8): 3 + 4 < 8なので、三角形を作れません。

* (3, 5, 7): 3 + 5 > 7なので、三角形を作れます。

* (3, 5, 8): 3 + 5 < 8なので、三角形を作れません。

* (3, 7, 8): 3 + 7 > 8なので、三角形を作れます。

* (4, 5, 7): 4 + 5 > 7なので、三角形を作れます。

* (4, 5, 8): 4 + 5 > 8なので、三角形を作れます。

* (4, 7, 8): 4 + 7 > 8なので、三角形を作れます。

* (5, 7, 8): 5 + 7 > 8なので、三角形を作れます。

したがって、三角形を作れる組み合わせは7通りです。

3. 最終的な答え

(1) 10通り

(2) 7通り