2直線 $4x+3y+2=0$ と $5x-2y-3=0$ の交点を通り、以下の条件を満たす直線の方程式を求める問題です。 (1) 点 $A(-1, -2)$ を通る。 (2) 直線 $9x+y+3=0$ に平行である。

1. 問題の内容

2直線 $4x+3y+2=0$ と $5x-2y-3=0$ の交点を通り、以下の条件を満たす直線の方程式を求める問題です。

(1) 点 $A(-1, -2)$ を通る。

(2) 直線 $9x+y+3=0$ に平行である。

2. 解き方の手順

2直線 $4x+3y+2=0$ と $5x-2y-3=0$ の交点を通る直線の方程式は、実数 $k$ を用いて

$(4x+3y+2)+k(5x-2y-3) = 0$

と表せる。

(1) 点 $A(-1, -2)$ を通る場合：

$x = -1$, $y = -2$ を代入すると、

$(4(-1) + 3(-2) + 2) + k(5(-1) - 2(-2) - 3) = 0$

$(-4 - 6 + 2) + k(-5 + 4 - 3) = 0$

$-8 + k(-4) = 0$

$-4k = 8$

$k = -2$

これを元の式に代入すると、

$(4x + 3y + 2) - 2(5x - 2y - 3) = 0$

$4x + 3y + 2 - 10x + 4y + 6 = 0$

$-6x + 7y + 8 = 0$

$6x - 7y - 8 = 0$

(2) 直線 $9x + y + 3 = 0$ に平行な場合：

$(4x + 3y + 2) + k(5x - 2y - 3) = 0$ を整理すると、

$(4+5k)x + (3-2k)y + (2-3k) = 0$

この直線が $9x + y + 3 = 0$ に平行であるためには、$x$ と $y$ の係数の比が等しい必要がある。すなわち、

$\frac{4+5k}{9} = \frac{3-2k}{1}$

$4 + 5k = 9(3 - 2k)$

$4 + 5k = 27 - 18k$

$23k = 23$

$k = 1$

これを元の式に代入すると、

$(4+5(1))x + (3-2(1))y + (2-3(1)) = 0$

$(4+5)x + (3-2)y + (2-3) = 0$

$9x + y - 1 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $6x-7y-8=0$

(2) $9x+y-1=0$