問題166は、以下の3つの小問から構成されています。 (1) 線分ABを3:2に内分する点の座標が(1, 3)、3:2に外分する点の座標が(5, 7)であるとき、点Aと点Bの座標、および原点Oと点A, Bを頂点とする三角形OABの重心の座標を求めます。 (2) 2直線 $2x - 3y + 1 = 0$ と $ax + (a - 3)y + a = 0$ が平行になるような $a$ の値と、垂直に交わるような $a$ の値を求めます。 (3) 点A(2, -8)と直線 $2x - 3y + 11 = 0$ の距離を求めます。

1. 問題の内容

問題166は、以下の3つの小問から構成されています。

(1) 線分ABを3:2に内分する点の座標が(1, 3)、3:2に外分する点の座標が(5, 7)であるとき、点Aと点Bの座標、および原点Oと点A, Bを頂点とする三角形OABの重心の座標を求めます。

(2) 2直線 $2x - 3y + 1 = 0$ と $ax + (a - 3)y + a = 0$ が平行になるような $a$ の値と、垂直に交わるような $a$ の値を求めます。

(3) 点A(2, -8)と直線 $2x - 3y + 11 = 0$ の距離を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

点Aの座標を$(x_A, y_A)$、点Bの座標を$(x_B, y_B)$とします。

線分ABを3:2に内分する点の座標は、

$(\frac{2x_A + 3x_B}{5}, \frac{2y_A + 3y_B}{5}) = (1, 3)$

線分ABを3:2に外分する点の座標は、

$(\frac{-2x_A + 3x_B}{1}, \frac{-2y_A + 3y_B}{1}) = (5, 7)$

これらの式から$x_A, y_A, x_B, y_B$を求めます。

$2x_A + 3x_B = 5$

$-2x_A + 3x_B = 5$

これらの式を足し合わせると、$6x_B = 10$なので、$x_B = \frac{5}{3}$。

$x_A = \frac{5 - 3x_B}{2} = \frac{5 - 5}{2} = 0$

$2y_A + 3y_B = 15$

$-2y_A + 3y_B = 7$

これらの式を足し合わせると、$6y_B = 22$なので、$y_B = \frac{11}{3}$。

$y_A = \frac{15 - 3y_B}{2} = \frac{15 - 11}{2} = 2$

したがって、点Aの座標は(0, 2)、点Bの座標は$(\frac{5}{3}, \frac{11}{3})$です。

三角形OABの重心の座標は、$(\frac{x_O + x_A + x_B}{3}, \frac{y_O + y_A + y_B}{3})$で求められます。O(0,0)なので、

$(\frac{0 + 0 + \frac{5}{3}}{3}, \frac{0 + 2 + \frac{11}{3}}{3}) = (\frac{5}{9}, \frac{17}{9})$

(2)

2直線 $2x - 3y + 1 = 0$ と $ax + (a - 3)y + a = 0$ が平行である条件は、

$\frac{2}{a} = \frac{-3}{a - 3} \neq \frac{1}{a}$。

$2(a - 3) = -3a$より、$2a - 6 = -3a$なので、$5a = 6$、$a = \frac{6}{5}$。

$\frac{-3}{a - 3} \neq \frac{1}{a}$より、 $-3a \neq a - 3$なので、 $4a \neq 3$、$a \neq \frac{3}{4}$。

よって、$a = \frac{6}{5}$のとき、2直線は平行です。

2直線が垂直に交わる条件は、$2a + (-3)(a - 3) = 0$。

$2a - 3a + 9 = 0$より、$-a + 9 = 0$なので、$a = 9$。

(3)

点A(2, -8)と直線 $2x - 3y + 11 = 0$ の距離は、

$\frac{|2(2) - 3(-8) + 11|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|4 + 24 + 11|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{39}{\sqrt{13}} = \frac{39\sqrt{13}}{13} = 3\sqrt{13}$

3. 最終的な答え

(1) 点Aの座標は(0, 2)、点Bの座標は$(\frac{5}{3}, \frac{11}{3})$、三角形OABの重心の座標は$(\frac{5}{9}, \frac{17}{9})$

(2) $a = \frac{6}{5}$ のとき平行、$a = 9$ のとき垂直

(3) $3\sqrt{13}$