正六角形について、以下の数を求めます。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数 (2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数 (3) 2個の頂点を結ぶ線分の本数 (4) 対角線の本数

1. 問題の内容

正六角形について、以下の数を求めます。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

(2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数

(3) 2個の頂点を結ぶ線分の本数

(4) 対角線の本数

2. 解き方の手順

正六角形の頂点の数は6です。

(1) 3個の頂点を選んで三角形を作る場合、6個の頂点から3個を選ぶ組み合わせの数を求めます。これは組み合わせ $_6C_3$ で計算できます。

$_6C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

(2) 4個の頂点を選んで四角形を作る場合、6個の頂点から4個を選ぶ組み合わせの数を求めます。これは組み合わせ $_6C_4$ で計算できます。

$_6C_4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

(3) 2個の頂点を結ぶ線分は、正六角形の辺と対角線を合わせたものです。6個の頂点から2個を選ぶ組み合わせの数を求めます。これは組み合わせ $_6C_2$ で計算できます。

$_6C_2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

(4) 対角線の本数を求めます。これは、(3)で求めた線分の総数から辺の数（6）を引くことで求められます。

対角線の本数 = 線分の総数 - 辺の数 = 15 - 6 = 9

3. 最終的な答え

(1) 20個

(2) 15個

(3) 15本

(4) 9本