半径2の円 $O_1$ と半径 $\sqrt{2}$ の円 $O_2$ が2点A, Bで交わっている。$\angle AO_1O_2 = \frac{\pi}{6}$, $\angle AO_2O_1 = \frac{\pi}{4}$ である。 (1) 扇形 $O_1AB$ （ただし、小さい方）の弧の長さと面積を求めよ。 (2) 2円 $O_1$, $O_2$ の重なり合う部分の周の長さと面積を求めよ。

1. 問題の内容

半径2の円 $O_1$ と半径 $\sqrt{2}$ の円 $O_2$ が2点A, Bで交わっている。$\angle AO_1O_2 = \frac{\pi}{6}$, $\angle AO_2O_1 = \frac{\pi}{4}$ である。

(1) 扇形 $O_1AB$ （ただし、小さい方）の弧の長さと面積を求めよ。

(2) 2円 $O_1$, $O_2$ の重なり合う部分の周の長さと面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 扇形 $O_1AB$ について

中心角 $\angle AO_1B$ を求める。三角形 $AO_1O_2$ において、$\angle AO_1O_2 = \frac{\pi}{6}$ 、$\angle AO_2O_1 = \frac{\pi}{4}$ なので、

$\angle AO_1B = 2\pi - 2\times \frac{\pi}{6} - 2\times \frac{\pi}{4} = 2\pi - \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} = \frac{12\pi - 2\pi - 3\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$.

小さい方の扇形の中心角は $\angle AO_1B = 2 \pi - \frac{7\pi}{6} = \frac{12 \pi - 7 \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

弧の長さ $l$ は、$l = r\theta$ より、$l = 2 \times \frac{5\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$

面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2}r^2\theta$ より、$S = \frac{1}{2} \times 2^2 \times \frac{5\pi}{6} = \frac{10\pi}{6} = \frac{5\pi}{3}$

(2) 重なり合う部分について

周の長さは、円 $O_1$ の弧ABの長さと、円 $O_2$ の弧ABの長さの和である。

円 $O_1$ の弧ABの長さは、(1) より $l = \frac{5\pi}{3}$ である。

円 $O_2$ の弧ABの中心角 $\angle AO_2B$ を求める。

$\angle AO_2B = 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.

円 $O_2$ の弧ABの長さは、$l = r \theta = \sqrt{2} \times \frac{\pi}{2} = \frac{\sqrt{2}\pi}{2}$

重なり合う部分の周の長さは、$\frac{5\pi}{3} + \frac{\sqrt{2}\pi}{2} = (\frac{5}{3} + \frac{\sqrt{2}}{2})\pi = \frac{10+3\sqrt{2}}{6}\pi$

重なり合う部分の面積は、扇形 $AO_1B$ の面積から三角形 $AO_1B$ の面積を引いたものと、扇形 $AO_2B$ の面積から三角形 $AO_2B$ の面積を引いたものを足し合わせたものである。

扇形 $AO_1B$ の面積は $\frac{5\pi}{3}$ である。三角形 $AO_1B$ の面積は $\frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times \sin{\frac{5\pi}{6}} = 2 \times \sin{\frac{\pi}{6}} = 2 \times \frac{1}{2} = 1$

扇形 $AO_2B$ の面積は $\frac{1}{2} \times (\sqrt{2})^2 \times \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2}$ である。三角形 $AO_2B$ の面積は $\frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2} \times \sin{\frac{\pi}{2}} = 1$

重なり合う部分の面積は、$(\frac{5\pi}{3} - 1) + (\frac{\pi}{2} - 1) = \frac{10\pi + 3\pi}{6} - 2 = \frac{13\pi}{6} - 2$

3. 最終的な答え

(1) 弧の長さ：$\frac{5\pi}{3}$, 面積：$\frac{5\pi}{3}$

(2) 周の長さ：$\frac{10+3\sqrt{2}}{6}\pi$, 面積：$\frac{13\pi}{6} - 2$