座標平面上に2点A(-1, 4), B(2, 0)と点Pがある。点Pは$(AP+BP)(AP-BP)=27$を満たしながら動く。また、不等式$x^2+y^2 \le 8x+10y-14$が表す領域をDとする。 (1) 領域Dの中心と半径、2点A, Bと領域Dの関係について答える。 (2) 点Pの座標を(x, y)とおき、AP^2, BP^2を求め、点Pの軌跡の方程式を求める。 (3) 領域Dの中心と直線(*)の距離を求め、点Pが領域D内を通過するときの線分の長さを求める。

1. 問題の内容

座標平面上に2点A(-1, 4), B(2, 0)と点Pがある。点Pは$(AP+BP)(AP-BP)=27$を満たしながら動く。また、不等式$x^2+y^2 \le 8x+10y-14$が表す領域をDとする。

(1) 領域Dの中心と半径、2点A, Bと領域Dの関係について答える。

(2) 点Pの座標を(x, y)とおき、AP^2, BP^2を求め、点Pの軌跡の方程式を求める。

(3) 領域Dの中心と直線(*)の距離を求め、点Pが領域D内を通過するときの線分の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 領域Dの不等式を平方完成する。

$x^2+y^2 \le 8x+10y-14$

$x^2 - 8x + y^2 - 10y \le -14$

$(x-4)^2 - 16 + (y-5)^2 - 25 \le -14$

$(x-4)^2 + (y-5)^2 \le 27$

したがって、領域Dは点C(4, 5)を中心とする半径$\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$の円の内部（円周を含む）である。

次に、点A(-1, 4), B(2, 0)が領域Dに含まれるか確認する。

点Aについて: $(-1-4)^2 + (4-5)^2 = 25 + 1 = 26 \le 27$ より、点Aは領域Dに含まれる。

点Bについて: $(2-4)^2 + (0-5)^2 = 4 + 25 = 29 > 27$ より、点Bは領域Dに含まれない。

したがって、点Aは領域Dに属するが、点Bは領域Dに属さない。

(2) $AP^2 = (x+1)^2 + (y-4)^2$

$BP^2 = (x-2)^2 + y^2$

$(AP+BP)(AP-BP) = AP^2 - BP^2 = 27$

$(x+1)^2 + (y-4)^2 - ((x-2)^2 + y^2) = 27$

$x^2 + 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 - (x^2 - 4x + 4 + y^2) = 27$

$2x + 1 - 8y + 16 + 4x - 4 = 27$

$6x - 8y + 13 = 27$

$6x - 8y - 14 = 0$

$3x - 4y - 7 = 0$

したがって、点Pの軌跡は直線$3x - 4y - 7 = 0$である。

(3) 領域Dの中心C(4, 5)と直線$3x - 4y - 7 = 0$の距離dは、

$d = \frac{|3(4) - 4(5) - 7|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|12 - 20 - 7|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-15|}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3$

領域Dの半径rは$3\sqrt{3}$である。直線が領域D内を通過するとき、線分の長さLは

$L = 2\sqrt{r^2 - d^2} = 2\sqrt{(3\sqrt{3})^2 - 3^2} = 2\sqrt{27 - 9} = 2\sqrt{18} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1)

ア: 4, イ: 5, ウ: 3, エ: 3, オ: 内部で円周も含む, カ: 点Aは領域Dに属するが、点Bは領域Dに属さない

(2)

キ: 1, ク: 4, ケ: 2, コ: 3, サ: 4, シ: 7

(3)

ス: 3, セ: 6, ソ: 2