$xy$平面において、与えられた方程式 $y^2 - 4x + 6y + 1 = 0$ の表す図形が通過する格子点を、選択肢の中からすべて選ぶ問題です。

1. 問題の内容

$xy$平面において、与えられた方程式 $y^2 - 4x + 6y + 1 = 0$ の表す図形が通過する格子点を、選択肢の中からすべて選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

与えられた方程式 $y^2 - 4x + 6y + 1 = 0$ を変形し、$x$について解きます。

$4x = y^2 + 6y + 1$

$x = \frac{y^2 + 6y + 1}{4}$

各選択肢の点を $(x, y)$ として、この式に代入し、$x$と$y$が整数となるかどうかを確かめます。

選択肢の点を代入して、$x$ が整数となる $y$ の値を求めます。

(1) $(-1, -7)$の場合:

$x = \frac{(-7)^2 + 6(-7) + 1}{4} = \frac{49 - 42 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

よって、この点は条件を満たしません。

(2) $(-1, -5)$の場合:

$x = \frac{(-5)^2 + 6(-5) + 1}{4} = \frac{25 - 30 + 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.

よって、この点は方程式を満たします。

(3) $(-1, -3)$の場合:

$x = \frac{(-3)^2 + 6(-3) + 1}{4} = \frac{9 - 18 + 1}{4} = \frac{-8}{4} = -2$.

よって、この点は条件を満たしません。

(4) $(-1, -1)$の場合:

$x = \frac{(-1)^2 + 6(-1) + 1}{4} = \frac{1 - 6 + 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.

よって、この点は方程式を満たします。

(5) $(-1, 1)$の場合:

$x = \frac{(1)^2 + 6(1) + 1}{4} = \frac{1 + 6 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

よって、この点は条件を満たしません。

(6) $(-1, 3)$の場合:

$x = \frac{(3)^2 + 6(3) + 1}{4} = \frac{9 + 18 + 1}{4} = \frac{28}{4} = 7$.

よって、この点は条件を満たしません。

(7) $(1, -1)$の場合:

$x = \frac{(-1)^2 + 6(-1) + 1}{4} = \frac{1 - 6 + 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.

よって、この点は条件を満たしません。

(8) $(1, 1)$の場合:

$x = \frac{(1)^2 + 6(1) + 1}{4} = \frac{1 + 6 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

よって、この点は条件を満たしません。

(9) $(1, 3)$の場合:

$x = \frac{(3)^2 + 6(3) + 1}{4} = \frac{9 + 18 + 1}{4} = \frac{28}{4} = 7$.

よって、この点は条件を満たしません。

(10) $(1, 5)$の場合:

$x = \frac{(5)^2 + 6(5) + 1}{4} = \frac{25 + 30 + 1}{4} = \frac{56}{4} = 14$.

よって、この点は条件を満たしません。

(11) $(1, 7)$の場合:

$x = \frac{(7)^2 + 6(7) + 1}{4} = \frac{49 + 42 + 1}{4} = \frac{92}{4} = 23$.

よって、この点は条件を満たしません。

方程式を満たす格子点は $(-1, -5)$ と $(-1, -1)$ です。

3. 最終的な答え

(-1, -5), (-1, -1)