三角形ABCに内接する円Oがあり、円Oは辺AB, BC, CAとそれぞれ点F, D, Eで接している。$AF = x$ cm, $BF = 10$ cm, $CD = 8$ cm, $AE = 6$ cmであるとき、以下の問いに答える。 (1) $BF$, $CE$の長さをそれぞれ$x$を使って表す。 (2) $x$の値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCに内接する円Oがあり、円Oは辺AB, BC, CAとそれぞれ点F, D, Eで接している。$AF = x$ cm, $BF = 10$ cm, $CD = 8$ cm, $AE = 6$ cmであるとき、以下の問いに答える。

(1) $BF$, $CE$の長さをそれぞれ$x$を使って表す。

(2) $x$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

円外の一点から円に引いた2本の接線の長さは等しいので、$AF = AE = x$である。

同様に、$BF = BD$なので、$BF = 10$ cmとなる。したがって、$BF = 10 - x$ cmである。

同様に、$CE = CD$なので、$CE = 8 - x$ cmとなる。

(2)

$BF = BD = 10$ cmより、$BC = BD + DC$だから、$BD = BC - DC$である。

また、$AE = AF = 6$ cmより、$AC = AE + EC$だから、$EC = AC - AE$である。

$BC = BD + DC = 10$,

$BD = BC - CD$, $CD = 8$

$BC = BD + 8$.

$BD = BF = 10-x$.

したがって、$BC = 10-x+8 = 18-x$.

$AE = AF = x$

$CE = CD$より、$CE = 8-x$.

$AC = AE + CE = x+6$

$AC = AE+EC = 6+8-x$

$AC = 6 + CE = 6+8-x = 14-x$.

$BC = BD+DC = BF+DC = 10-x+8 = 18-x$

$AB = AF+FB = x+10$

$AC = AE+EC = x+6$

周の長さ=$18-x + x+10 + x+6 = 34+x$.

$CE = AC - AE$, $CD = 8$だから、$CE = CD$より $AC - AE = 8$.

したがって、$AC - x = 8$。 よって、$AC = x+8$.

一方、$AC = AE + CE = 6 + CE = 6+CD = 6+BD = 6 + BF = 6 + 10 - x = 16-x$.

したがって、$x+8 = 16-x$.

$2x = 8$

$x = 4$

3. 最終的な答え

(1) $BF = 10-x$ (cm), $CE = 8-x$ (cm)

(2) $x=4$