四角形ABCDにおいて、$BC=2$, $DA=2\sqrt{2}$, $\angle A = 105^\circ$, $\angle B = 60^\circ$である。対角線ACの長さと、四角形ABCDの面積を求める問題。

1. 問題の内容

四角形ABCDにおいて、$BC=2$, $DA=2\sqrt{2}$, $\angle A = 105^\circ$, $\angle B = 60^\circ$である。対角線ACの長さと、四角形ABCDの面積を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) $\triangle ABC$に着目し、余弦定理を用いて$AC$の長さを求める。

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{\angle B}$

$AC^2 = (1+\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2(1+\sqrt{3})(2) \cos{60^\circ}$

$AC^2 = (1+2\sqrt{3}+3) + 4 - 4(1+\sqrt{3})(\frac{1}{2})$

$AC^2 = 4 + 2\sqrt{3} + 4 - 2(1+\sqrt{3})$

$AC^2 = 8 + 2\sqrt{3} - 2 - 2\sqrt{3}$

$AC^2 = 6$

よって、$AC = \sqrt{6}$

(2) $\triangle ABC$の面積を求める。

$\triangle ABC = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin{\angle B}$

$\triangle ABC = \frac{1}{2} (1+\sqrt{3}) \cdot 2 \cdot \sin{60^\circ}$

$\triangle ABC = (1+\sqrt{3}) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\triangle ABC = \frac{\sqrt{3}+3}{2}$

(3) $\triangle ADC$に着目し、余弦定理を用いて$\angle D$を求める。

$AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2 \cdot AD \cdot DC \cdot \cos{\angle D}$

$6 = (2\sqrt{2})^2 + DC^2 - 2 \cdot (2\sqrt{2}) \cdot DC \cdot \cos{\angle D}$

四角形の内角の和は360度なので、$\angle C = 360 - (105+60+\angle D) = 195 - \angle D$

また、四角形の形状から、$DC$は容易には求められない。ここで、$\angle CAD = \alpha, \angle BAC = \beta$ とおくと、$\alpha + \beta = 105^\circ$。

$\angle ACB = \gamma, \angle ACD = \delta$ とおくと、$\gamma + \delta = \angle C$

$\angle B = 60^\circ$ なので、$\angle ACB = \gamma = \arcsin{\frac{AB \sin B}{AC}} = \arcsin{\frac{(1+\sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}}} = \arcsin{\frac{\sqrt{3} + 3}{2\sqrt{6}}} = 75^\circ$

$\triangle ADC$ の面積をSとする。 $S = \frac{1}{2} AD \cdot AC \sin{\angle CAD}$

正弦定理より $\frac{AD}{\sin{\angle ACD}} = \frac{AC}{\sin{\angle D}}$

$\frac{2\sqrt{2}}{\sin{\angle ACD}} = \frac{\sqrt{6}}{\sin{\angle D}}$

ここで、$\angle D = 120^\circ$と仮定すると、$\angle C = 195 - 120 = 75^\circ$なので、四角形は円に内接する。

$\angle A + \angle C = 105 + 75 = 180^\circ$

$\angle B + \angle D = 60 + 120 = 180^\circ$

よって、$\angle D = 120^\circ$

$\triangle ADC = \frac{1}{2} AD \cdot AC \sin{\angle DAC}$ は求められない。

(4) $\triangle ADC$の面積を求める

$\triangle ADC = \frac{1}{2} AD \cdot CD \cdot \sin{\angle D}$

余弦定理より $AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 AD \cdot CD \cdot \cos{\angle D}$

$6 = (2\sqrt{2})^2 + CD^2 - 2 (2\sqrt{2}) \cdot CD \cdot (-\frac{1}{2})$

$6 = 8 + CD^2 + 2\sqrt{2}CD$

$CD^2 + 2\sqrt{2}CD + 2 = 0$

$(CD+\sqrt{2})^2 = 0$

$CD = \sqrt{2}$

$\triangle ADC = \frac{1}{2} (2\sqrt{2}) (\sqrt{2}) \sin{120^\circ} = \frac{1}{2} (4) \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$

四角形ABCDの面積 = $\triangle ABC + \triangle ADC = \frac{3+\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} = \frac{3+3\sqrt{3}}{2}$

3. 最終的な答え

対角線ACの長さは$\sqrt{6}$であり、

四角形ABCDの面積は$\frac{3\sqrt{3} + 3}{2}$である。