問題は大きく2つに分かれています。 (1) 放物線Cの方程式を求め、その頂点の座標を求めます。また、極座標を用いて放物線Cを表す極方程式を求めます。 (2) 双曲線Dの方程式を求め、その焦点の座標を求めます。さらに、双曲線上の点Pと焦点F, F'との距離の和が一定であることを利用して、その値を求めます。また、原点Oで直交する2直線$l, m$と放物線$C$との交点に関する問題です。$l, m$と$C$の交点を$Q, R, S, T$としたとき、$\frac{1}{OQ} - \frac{1}{OR} + \frac{1}{OS} - \frac{1}{OT}$ が一定であることを証明し、その値を求めます。

1. 問題の内容

問題は大きく2つに分かれています。

(1) 放物線Cの方程式を求め、その頂点の座標を求めます。また、極座標を用いて放物線Cを表す極方程式を求めます。

(2) 双曲線Dの方程式を求め、その焦点の座標を求めます。さらに、双曲線上の点Pと焦点F, F'との距離の和が一定であることを利用して、その値を求めます。また、原点Oで直交する2直線$l, m$と放物線$C$との交点に関する問題です。$l, m$と$C$の交点を$Q, R, S, T$としたとき、$\frac{1}{OQ} - \frac{1}{OR} + \frac{1}{OS} - \frac{1}{OT}$ が一定であることを証明し、その値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 放物線Cの方程式を求めます。焦点が$(\frac{p}{2}, 0)$、準線が$x = -\frac{p}{2}$である放物線の方程式は$y^2 = 2px$です。問題文より、焦点の$x$座標はわかりませんが、準線が$x=-2$であることがわかります。焦点の$x$座標を$a$とすると、$\frac{a-2}{2} = 0$より、$a = -2$となります。したがって、焦点は$(-2, 0)$であり、放物線の方程式は、$y^2 = 2p(x+2)$ となります。問題文より、$OP=PH$なので、$r = x+2$です。したがって、$r = \frac{4}{1 - \cos \theta}$となります。

(2) 極方程式 $2r = r \cos \theta + 3$ をデカルト座標に変換します。$2\sqrt{x^2+y^2} = x+3$、両辺を2乗すると、$4(x^2+y^2) = x^2 + 6x + 9$となり、$3x^2 -6x + 4y^2 = 9$、両辺を3で割ると、$x^2 - 2x + \frac{4}{3}y^2 = 3$、$(x-1)^2 - 1 + \frac{4}{3}y^2 = 3$、$(x-1)^2 + \frac{4}{3}y^2 = 4$、$\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$。

したがって、双曲線Dの方程式は$\frac{(x-1)^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$です。焦点の$x$座標を求めます。$a^2 = 4$, $b^2 = 3$, $c^2 = a^2 + b^2 = 7$, $c = \sqrt{7}$

したがって、焦点の座標は$(1 \pm \sqrt{7}, 0)$です。

$PF + PF' = 2a = 4$。

$l$の傾きを$\tan \theta$ $(0 < \theta < \frac{\pi}{2})$ とします。Qを第1象限の点、Rを第3象限の点とし、さらに、Sを第2象限の点、Tを第4象限の点とします。$OQ = r_1$, $OR = r_2$, $OS = r_3$, $OT = r_4$とすると、$\frac{1}{OQ} - \frac{1}{OR} + \frac{1}{OS} - \frac{1}{OT} = \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} - \frac{1}{r_4}$となります。

$r_1 = \frac{4}{1-\cos \theta}$, $r_2 = \frac{4}{1+\cos \theta}$, $r_3 = \frac{4}{1+\cos(\pi-\theta)} = \frac{4}{1-\cos \theta}$, $r_4 = \frac{4}{1+\cos(\pi+\theta)} = \frac{4}{1-\cos \theta}$

$\frac{1}{OQ} - \frac{1}{OR} + \frac{1}{OS} - \frac{1}{OT} = \frac{1-\cos \theta}{4} - \frac{1+\cos \theta}{4} + \frac{1-\cos \theta}{4} - \frac{1+\cos \theta}{4} = \frac{1-\cos \theta - 1 - \cos \theta + 1 - \cos \theta - 1 - \cos \theta}{4} = \frac{-4\cos \theta}{4} = -\cos \theta$

3. 最終的な答え

* ア: y^2

* イ: 8(x+2)

* ウ: -2

* エ: 0

* オ:

* カ: 4

* キ: 1

* ソ: 3

* タ: x^2

* チ: -6

* ツ: x

* テ: 1

* ト: 4

* ナ: 3

* ニ: 1-sqrt(7)

* ヌ: 0

* ネ: 1+sqrt(7)

* ノ: 0

* ハ: 4

* ク: 1-\cos\theta

* ケ: 1+\cos\theta

* コ: 1-\cos\theta

* サ: 1+\cos\theta

* シ: 0

* ス: 4