一辺の長さが $\sqrt{3}$ の正四面体 ABCD において、辺 BC の中点を M とするとき、以下の値を求めます。 (1) AM の長さ (2) $\cos{\angle AMD}$ の値 (3) $\triangle AMD$ の面積

1. 問題の内容

一辺の長さが $\sqrt{3}$ の正四面体 ABCD において、辺 BC の中点を M とするとき、以下の値を求めます。

(1) AM の長さ

(2) $\cos{\angle AMD}$ の値

(3) $\triangle AMD$ の面積

2. 解き方の手順

(1) AM の長さ

$\triangle ABC$ は正三角形であり、M は BC の中点なので、AM は $\triangle ABC$ の中線かつ垂線となります。よって、$\triangle ABM$ は直角三角形です。$AB = \sqrt{3}$ であり、$BM = \frac{\sqrt{3}}{2}$ です。ピタゴラスの定理より、

$AM^2 = AB^2 - BM^2 = (\sqrt{3})^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 = 3 - \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$

したがって、$AM = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$

(2) $\cos{\angle AMD}$ の値

同様に、$\triangle DMC$ も直角三角形であり、$DM = AM = \frac{3}{2}$ です。

$\triangle AMD$ において、余弦定理を用いると、

$AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2 \cdot AM \cdot DM \cdot \cos{\angle AMD}$

$(\sqrt{3})^2 = (\frac{3}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 - 2 \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \cos{\angle AMD}$

$3 = \frac{9}{4} + \frac{9}{4} - 2 \cdot \frac{9}{4} \cdot \cos{\angle AMD}$

$3 = \frac{18}{4} - \frac{18}{4} \cos{\angle AMD}$

$3 = \frac{9}{2} - \frac{9}{2} \cos{\angle AMD}$

$\frac{9}{2} \cos{\angle AMD} = \frac{9}{2} - 3 = \frac{3}{2}$

$\cos{\angle AMD} = \frac{3/2}{9/2} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

(3) $\triangle AMD$ の面積

$\sin^2{\angle AMD} + \cos^2{\angle AMD} = 1$ より、

$\sin^2{\angle AMD} = 1 - \cos^2{\angle AMD} = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\sin{\angle AMD} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ (∵ $\angle AMD$ は三角形の内角なので正の値をとる)

$\triangle AMD$ の面積は、

$\frac{1}{2} \cdot AM \cdot DM \cdot \sin{\angle AMD} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{9\sqrt{2}}{12} = \frac{3\sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $AM = \frac{3}{2}$

(2) $\cos{\angle AMD} = \frac{1}{3}$

(3) $\triangle AMD = \frac{3\sqrt{2}}{4}$