$x$ の連立不等式 $7x+1 \geq 3(2x+a)$ と $3(x-1) > 4x-11$ を満たす整数の個数が $3$ 個になるような $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

$x$ の連立不等式 $7x+1 \geq 3(2x+a)$ と $3(x-1) > 4x-11$ を満たす整数の個数が $3$ 個になるような $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解きます。

1つ目の不等式：

$7x+1 \geq 3(2x+a)$

$7x+1 \geq 6x+3a$

$x \geq 3a-1$

2つ目の不等式：

$3(x-1) > 4x-11$

$3x-3 > 4x-11$

$-x > -8$

$x < 8$

したがって、連立不等式は $3a-1 \leq x < 8$ となります。

この範囲に含まれる整数の個数が3個となるためには、$3a-1$ の値がどの範囲にあるかを考える必要があります。$x$ は整数なので、$x$ が取りうる値は、$3a-1$ 以上の整数で $8$ より小さいものです。

$x$ が取りうる整数値が3つであることから、

$4 < 8 - (3a-1) \leq 3$ は誤りです。なぜなら、整数である必要があるのは $x$ であり、$3a-1$ は整数である必要がないからです。

整数解が3個なので、取りうる整数値は $5, 6, 7$ であるか、$6, 7$ ともう1つであるか、$7$ とさらに2つです。

連立不等式 $3a-1 \leq x < 8$ を満たす整数 $x$ が3つである条件は、$5 \leq 3a-1 < 6$ であると考えられます。この場合、$5, 6, 7$ が解となります。

$5 \leq 3a-1 < 6$ を解きます。

$6 \leq 3a < 7$

$2 \leq a < \frac{7}{3}$

確認のため、$3a-1$ が $5$ 未満だった場合、$x$ の値は $6, 7$ より小さい3つの整数が存在しないので $3a-1$ は $5$ 以上である必要があります。

$3a - 1 \ge 4$ が必要です。また、$3a-1 = 4$ のとき $x$ の整数解は $4, 5, 6, 7$ となるため、4個になってしまいます。

$6 \le 3a < 7$ を解くことで、$2 \le a < \frac{7}{3}$ となります。このとき、$3a - 1$ は、$5 \le 3a - 1 < 6$ となります。したがって、$x$ は $5, 6, 7$ を取り、３個の整数解を持ちます。

3. 最終的な答え

$2 \leq a < \frac{7}{3}$