(1) 一次関数 $y = -\frac{3}{2}x + 5$ において、$x$ の増加量が6のときの $y$ の増加量を求めなさい。 (2) 一次関数 $y = \frac{1}{5}x + 1$ において、$x$ の変域が $-5 \le x \le 10$ のときの $y$ の変域を求めなさい。

1. 問題の内容

(1) 一次関数 $y = -\frac{3}{2}x + 5$ において、$x$ の増加量が6のときの $y$ の増加量を求めなさい。

(2) 一次関数 $y = \frac{1}{5}x + 1$ において、$x$ の変域が $-5 \le x \le 10$ のときの $y$ の変域を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1)

一次関数 $y = ax + b$ において、$x$ の増加量に対する $y$ の増加量の割合は常に $a$ です。つまり、$x$ の増加量を $\Delta x$、$y$ の増加量を $\Delta y$ とすると、

$\frac{\Delta y}{\Delta x} = a$

なので、$\Delta y = a \Delta x$ となります。

この問題では、$a = -\frac{3}{2}$、$\Delta x = 6$ なので、$y$ の増加量 $\Delta y$ は、

$\Delta y = -\frac{3}{2} \times 6 = -9$

となります。

(2)

一次関数 $y = \frac{1}{5}x + 1$ において、$x$ の変域が $-5 \le x \le 10$ であるとき、$y$ の変域を求める。

$x = -5$ のとき、$y = \frac{1}{5} \times (-5) + 1 = -1 + 1 = 0$

$x = 10$ のとき、$y = \frac{1}{5} \times 10 + 1 = 2 + 1 = 3$

$y = \frac{1}{5}x + 1$ は $x$ について増加関数であるため、$x$ が最小値のとき $y$ も最小値、 $x$ が最大値のとき $y$ も最大値をとります。したがって、$0 \le y \le 3$ となります。

3. 最終的な答え

(1) -9

(2) $0 \le y \le 3$