与えられた2次方程式 $4x^2 + 4x - 7 = 0$ (式1) と絶対値を含む方程式 $|2x/3 - a| = a$ (式2) について、以下の問題を解く。 (1) 式1を平方完成し、$\boxed{ア}(x + \boxed{イ})^2 = \boxed{エ} \sqrt{\boxed{オ}}$の形で表す。 (2) 方程式1の解の個数から、方程式 $| \frac{2}{3}x-a| = a$ が解を持つような $a$ の範囲を求める。 (3) 数直線上に式1と式2の解を書き込み、解の個数が3個になるときの様子を表現する図を選択する。 (4) 式1または式2を満たすxの値の個数が3個となるような $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式 $4x^2 + 4x - 7 = 0$ (式1) と絶対値を含む方程式 $|2x/3 - a| = a$ (式2) について、以下の問題を解く。

(1) 式1を平方完成し、$\boxed{ア}(x + \boxed{イ})^2 = \boxed{エ} \sqrt{\boxed{オ}}$の形で表す。

(2) 方程式1の解の個数から、方程式 $| \frac{2}{3}x-a| = a$ が解を持つような $a$ の範囲を求める。

(3) 数直線上に式1と式2の解を書き込み、解の個数が3個になるときの様子を表現する図を選択する。

(4) 式1または式2を満たすxの値の個数が3個となるような $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

式1の左辺を平方完成する。

$4x^2 + 4x - 7 = 4(x^2 + x) - 7 = 4(x^2 + x + \frac{1}{4}) - 4(\frac{1}{4}) - 7 = 4(x + \frac{1}{2})^2 - 1 - 7 = 4(x + \frac{1}{2})^2 - 8$

したがって、式1は $4(x + \frac{1}{2})^2 = 8$と変形できる。

さらに、$4(x + \frac{1}{2})^2 = 8$ を $(x + \frac{1}{2})^2 = 2$ とする。

すると、$x + \frac{1}{2} = \pm \sqrt{2}$となる。

$ア = 4, イ = \frac{1}{2}, ウ = 8, エ = \pm, オ = 2$

(2)

方程式1の解の個数は2個である。

$4(x + \frac{1}{2})^2 = 8$ より、$(x + \frac{1}{2})^2 = 2$ となる。

$(x + \frac{1}{2})^2 = 2$ から $x + \frac{1}{2} = \pm \sqrt{2}$となり、$x = -\frac{1}{2} \pm \sqrt{2}$ と2つの実数解を持つ。

方程式2は $| \frac{2}{3}x-a| = a$ である。

$a$ は正である必要がある。なぜならば、絶対値は常に0以上だからである。

また、方程式2の解が存在するような $a$ の範囲は $a > 0$ である。

$a>0$ の時、$|\frac{2}{3}x-a| = a$ は $\frac{2}{3}x - a = a$または $\frac{2}{3}x - a = -a$ となる。

$\frac{2}{3}x - a = a$ より、$\frac{2}{3}x = 2a$ となり、$x = 3a$

$\frac{2}{3}x - a = -a$ より、$\frac{2}{3}x = 0$ となり、$x = 0$

よって、方程式2は $x = 3a, 0$ の2つの解を持つ。

(3)

方程式1の解は $x = -\frac{1}{2} + \sqrt{2}, -\frac{1}{2} - \sqrt{2}$ である。

方程式2の解は $x = 0, 3a$ である。

$a$ を大きくしていくと、解の個数が3個となるのは、$3a = -\frac{1}{2} + \sqrt{2}$ または $3a = -\frac{1}{2} - \sqrt{2}$ が成り立つ時である。

しかし、$a>0$ であるので、$3a = -\frac{1}{2} - \sqrt{2}$ は成り立たない。

$3a = -\frac{1}{2} + \sqrt{2}$ となる時、方程式1と方程式2は解を共有するので、解の個数は3個となる。

数直線上では、方程式1の解を・、方程式2の解を○で表し、一致しているときは◎で表す。

正しい図は③である。

(4)

方程式1または方程式2を満たす解の個数が3個となるような $a$ の値は、$3a = -\frac{1}{2} + \sqrt{2}$ のときである。

$a = \frac{-\frac{1}{2} + \sqrt{2}}{3} = -\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{-1+2\sqrt{2}}{6}$.

したがって、

$a = \frac{-1 + 2\sqrt{2}}{6} = \frac{-1}{6} + \frac{2}{6}\sqrt{2} = \frac{-1+2\sqrt{2}}{6}$

したがって、コ=-1, サ=2, シ=2, ス=2, セ=6となる。

3. 最終的な答え

(1) ア=4, イ=1/2, ウ=8, エ=, オ=2

(2) カ=1

(3) キ=3

(4) a = (-1+2√2)/6