実数 $x$ に関する条件 $p, q, r$ が与えられている。 $p: -1 \le x \le \frac{7}{3}$ $q: |3x-5| \le 2$ $r: -5 \le 2 - 3x \le -1$ $p$ は $q$ であるための何条件か、$q$ は $p$ であるための何条件か、$r$ は $q$ であるための何条件かをそれぞれ答える。

1. 問題の内容

実数 $x$ に関する条件 $p, q, r$ が与えられている。

$p: -1 \le x \le \frac{7}{3}$

$q: |3x-5| \le 2$

$r: -5 \le 2 - 3x \le -1$

$p$ は $q$ であるための何条件か、$q$ は $p$ であるための何条件か、$r$ は $q$ であるための何条件かをそれぞれ答える。

2. 解き方の手順

(1) 条件 $q$ を解く。

$|3x-5| \le 2$ は $-2 \le 3x-5 \le 2$ と同値である。

各辺に 5 を足すと $3 \le 3x \le 7$

各辺を 3 で割ると $1 \le x \le \frac{7}{3}$

したがって、$q: 1 \le x \le \frac{7}{3}$

(2) 条件 $r$ を解く。

$-5 \le 2 - 3x \le -1$

各辺から 2 を引くと $-7 \le -3x \le -3$

各辺を -3 で割ると $\frac{7}{3} \ge x \ge 1$

したがって、$r: 1 \le x \le \frac{7}{3}$

(3) $p$ は $q$ であるための条件を検討する。

$p: -1 \le x \le \frac{7}{3}$

$q: 1 \le x \le \frac{7}{3}$

$q$ ならば $p$ である ($q \Rightarrow p$)。なぜなら $1 \le x \le \frac{7}{3}$ ならば $-1 \le x \le \frac{7}{3}$ だから。

$p$ ならば $q$ とは限らない ($p \nRightarrow q$)。なぜなら $-1 \le x \le \frac{7}{3}$ でも $1 \le x \le \frac{7}{3}$ とは限らないから。（例：$x = 0$）

よって、$p$ は $q$ であるための必要条件であるが、十分条件ではない。

(4) $q$ は $p$ であるための条件を検討する。

$p: -1 \le x \le \frac{7}{3}$

$q: 1 \le x \le \frac{7}{3}$

$q$ ならば $p$ である ($q \Rightarrow p$)。なぜなら $1 \le x \le \frac{7}{3}$ ならば $-1 \le x \le \frac{7}{3}$ だから。

$p$ ならば $q$ とは限らない ($p \nRightarrow q$)。なぜなら $-1 \le x \le \frac{7}{3}$ でも $1 \le x \le \frac{7}{3}$ とは限らないから。（例：$x = 0$）

よって、$q$ は $p$ であるための十分条件であるが、必要条件ではない。

(5) $r$ は $q$ であるための条件を検討する。

$q: 1 \le x \le \frac{7}{3}$

$r: 1 \le x \le \frac{7}{3}$

$r \Leftrightarrow q$ なので、$r$ は $q$ であるための必要十分条件である。

3. 最終的な答え

$p$ は $q$ であるための $\boxed{3}$ (必要条件であるが、十分条件ではない)

$q$ は $p$ であるための $\boxed{4}$ (十分条件であるが、必要条件ではない)

$r$ は $q$ であるための $\boxed{1}$ (必要十分条件である)