複素数の計算問題です。具体的には、足し算、引き算、掛け算、そして $i$ のべき乗の計算を行います。 (1) $(2-5i)+(-5+4i)$ (2) $(2+i)-(4-3i)$ (3) $(2+6i)(3-2i)$ (4) $(2+3i)(2-3i)$ (5) $(2-i)^2$ (6) $i^{10}$

1. 問題の内容

複素数の計算問題です。具体的には、足し算、引き算、掛け算、そして $i$ のべき乗の計算を行います。

(1) $(2-5i)+(-5+4i)$

(2) $(2+i)-(4-3i)$

(3) $(2+6i)(3-2i)$

(4) $(2+3i)(2-3i)$

(5) $(2-i)^2$

(6) $i^{10}$

2. 解き方の手順

(1) $(2-5i)+(-5+4i)$

実部と虚部をそれぞれ足し合わせます。

$2 + (-5) = -3$

$-5i + 4i = -i$

したがって、

$(2-5i)+(-5+4i) = -3 - i$

(2) $(2+i)-(4-3i)$

実部と虚部をそれぞれ引き算します。

$2 - 4 = -2$

$i - (-3i) = i + 3i = 4i$

したがって、

$(2+i)-(4-3i) = -2 + 4i$

(3) $(2+6i)(3-2i)$

展開して計算します。

$(2+6i)(3-2i) = 2(3) + 2(-2i) + 6i(3) + 6i(-2i)$

$= 6 - 4i + 18i - 12i^2$

$i^2 = -1$ なので、

$= 6 + 14i - 12(-1)$

$= 6 + 14i + 12$

$= 18 + 14i$

(4) $(2+3i)(2-3i)$

これは複素共役の積なので、$a^2 + b^2$ の公式が使えます。

$(2+3i)(2-3i) = 2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$

または、展開して計算しても良いです。

$(2+3i)(2-3i) = 2(2) + 2(-3i) + 3i(2) + 3i(-3i)$

$= 4 - 6i + 6i - 9i^2$

$= 4 - 9(-1)$

$= 4 + 9 = 13$

(5) $(2-i)^2$

$(2-i)^2 = (2-i)(2-i) = 2(2) + 2(-i) - i(2) + (-i)(-i)$

$= 4 - 2i - 2i + i^2$

$= 4 - 4i - 1$

$= 3 - 4i$

(6) $i^{10}$

$i$ のべき乗は周期性があります。

$i^1 = i$

$i^2 = -1$

$i^3 = -i$

$i^4 = 1$

$i^5 = i$

以降、$i, -1, -i, 1$ が繰り返されます。

$i^{10} = i^{4 \cdot 2 + 2} = (i^4)^2 \cdot i^2 = 1^2 \cdot i^2 = 1 \cdot (-1) = -1$

3. 最終的な答え

(1) $-3 - i$

(2) $-2 + 4i$

(3) $18 + 14i$

(4) $13$

(5) $3 - 4i$

(6) $-1$