2つの不等式 $|x+4| \le 7$ と $3(x+2) \le 5(x+1)-2k$ を同時に満たす整数 $x$ がちょうど4個となるように、定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2つの不等式 $|x+4| \le 7$ と $3(x+2) \le 5(x+1)-2k$ を同時に満たす整数 $x$ がちょうど4個となるように、定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解く。

1つ目の不等式：

$|x+4| \le 7$

$-7 \le x+4 \le 7$

$-7 - 4 \le x \le 7 - 4$

$-11 \le x \le 3$

2つ目の不等式：

$3(x+2) \le 5(x+1) - 2k$

$3x + 6 \le 5x + 5 - 2k$

$2k + 6 - 5 \le 5x - 3x$

$2k + 1 \le 2x$

$x \ge k + \frac{1}{2}$

2つの不等式を同時に満たす $x$ の範囲は $k+\frac{1}{2} \le x \le 3$ である。

この範囲に含まれる整数がちょうど4個であるためには、

$x = n, n+1, n+2, n+3$ となる整数 $n$ が存在し、$-11 \le n \le 3$ かつ $k + \frac{1}{2} \le n$ でなければならない。

また、$n+3 \le 3$ である必要があるので、$n \le 0$ が必要である。

$n, n+1, n+2, n+3$ の４つの整数が $-11 \le x \le 3$ かつ $x \ge k + \frac{1}{2}$ を満たすためには、$n+3 \le 3 < n+4$ が必要である。

したがって、$n \le 0 < n+1$が成り立つ。

$n$ は整数なので、$n=0, -1, -2, ... , -11$ のうちのいずれかである。

$x \ge k + \frac{1}{2}$を満たす整数 $x$ が4個であるためには、$k + \frac{1}{2} > -1$ かつ $k + \frac{1}{2} \le 0$が成り立つ必要がある。すなわち

$k + \frac{1}{2} > -1 \Rightarrow k > -1 - \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} = -1.5$

$k + \frac{1}{2} \le 0 \Rightarrow k \le 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} = -0.5$

$n \le x \le 3$を満たす整数が4個であることから、$k+\frac{1}{2} \le x \le 3$ を満たす整数 $x$ が4個である。

整数 $x$ は $n, n+1, n+2, n+3$ であり、 $n$ の最小値が $-11$ であり最大値が $0$ であることを考慮すると

$-1 \le k+\frac{1}{2} < 0$

$-1-\frac{1}{2} \le k < -\frac{1}{2}$

$-\frac{3}{2} \le k < -\frac{1}{2}$

$-1.5 \le k < -0.5$

$n=0, -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9, -10, -11$ である必要はない。

範囲 $-11 \le x \le 3$ の整数 $x$ が4個である。

$k + 1/2 \le x \le 3$ の範囲に整数が4個含まれる条件を考える。

$k + 1/2 \le n$ かつ $n+3 \le 3$ である必要がある。

$k+1/2$ 以上で最大の整数が $-1$, $-2$, $-3$, $-4$ のどれかになる。

$3$から4個整数を遡ると、$0, 1, 2, 3$ または $-1, 0, 1, 2$ となる。

$k + 1/2 > -2$ かつ $k+1/2 \le -1$ となる場合を考える。

$-2 < k+1/2 \le -1$

$-2 - 1/2 < k \le -1 - 1/2$

$-5/2 < k \le -3/2$

$-2.5 < k \le -1.5$

$k = -1.5$ のとき、$x \ge -1$ なので整数は $-1, 0, 1, 2, 3$ の5個になってしまう。

$k > -2.5$ だから，$k$ が $-2.5$ に近づくほど $x$ の範囲は広くなる。

$k = -2.5$ のとき、$x > -2$ なので $x \ge -1$ となり，整数は $-1, 0, 1, 2, 3$ の5個になってしまう。

$-2 \le x \le 3$ に整数が4個となるのは、$x$が連続する整数で $x = -1, 0, 1, 2$ の時である。

$-2 \le x \le 3$を満たす整数 $x$ が 4 個となる条件を求める。

$x = -1, 0, 1, 2$ を満たすには、$k+1/2 > -2$ かつ $k+1/2 \le -1$ である必要がある。

$-2 < k+1/2 \le -1$

$-2 -1/2 < k \le -1-1/2$

$-5/2 < k \le -3/2$

$-2.5 < k \le -1.5$

3. 最終的な答え

$-2.5 < k \le -1.5$