放物線 $y = x^2 - 2ax - 2a + 3$ が与えられたとき、以下の3つの条件を満たすような定数 $a$ の値の範囲を求めます。 (1) $x$ 軸の正の部分において異なる2点で交わる。 (2) $x$ 軸の負の部分において異なる2点で交わる。 (3) $x$ 軸の正の部分と負の部分の両方と交わる。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 - 2ax - 2a + 3$ が与えられたとき、以下の3つの条件を満たすような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

(1) $x$ 軸の正の部分において異なる2点で交わる。

(2) $x$ 軸の負の部分において異なる2点で交わる。

(3) $x$ 軸の正の部分と負の部分の両方と交わる。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^2 - 2ax - 2a + 3$ とおきます。

(1) $x$ 軸の正の部分において異なる2点で交わる条件

放物線が $x$ 軸の正の部分において異なる2点で交わるためには、以下の3つの条件が必要です。

* 判別式 $D > 0$

* 軸の位置 $a > 0$

* $f(0) > 0$

判別式 $D$ は、$D = (-2a)^2 - 4(1)(-2a+3) = 4a^2 + 8a - 12 = 4(a^2 + 2a - 3) = 4(a+3)(a-1)$ です。

$D > 0$ より、$(a+3)(a-1) > 0$ なので、$a < -3$ または $a > 1$ 。

軸の位置は、$x = -\frac{-2a}{2(1)} = a$ なので、$a > 0$ 。

$f(0) > 0$ より、$-2a + 3 > 0$ なので、$2a < 3$ 、つまり $a < \frac{3}{2}$ 。

これらの条件を全て満たす $a$ の範囲は、$1 < a < \frac{3}{2}$ 。

(2) $x$ 軸の負の部分において異なる2点で交わる条件

放物線が $x$ 軸の負の部分において異なる2点で交わるためには、以下の3つの条件が必要です。

* 判別式 $D > 0$

* 軸の位置 $a < 0$

* $f(0) > 0$

判別式 $D > 0$ より、$a < -3$ または $a > 1$ 。

軸の位置は、$a < 0$ 。

$f(0) > 0$ より、$a < \frac{3}{2}$ 。

これらの条件を全て満たす $a$ の範囲は、$a < -3$ 。

(3) $x$ 軸の正の部分、負の部分の両方と交わる条件

放物線が $x$ 軸の正の部分と負の部分の両方と交わるためには、$f(0) < 0$ であればよいです。

$-2a + 3 < 0$ より、$2a > 3$ 、つまり $a > \frac{3}{2}$ 。

3. 最終的な答え

(1) $1 < a < \frac{3}{2}$

(2) $a < -3$

(3) $a > \frac{3}{2}$