$x$ についての不等式 $\frac{4x-k}{6} - 1 \leqq \frac{7}{2} - \frac{k}{3}x$ を満たす最大の整数が $7$ となるように、定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$x$ についての不等式 $\frac{4x-k}{6} - 1 \leqq \frac{7}{2} - \frac{k}{3}x$ を満たす最大の整数が $7$ となるように、定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、不等式を整理する。

$\frac{4x-k}{6} - 1 \leqq \frac{7}{2} - \frac{k}{3}x$

両辺に $6$ をかける。

$4x - k - 6 \leqq 21 - 2kx$

$4x + 2kx \leqq 21 + 6 + k$

$(4+2k)x \leqq 27 + k$

$2(2+k)x \leqq 27 + k$

$k \neq -2$ の場合を考える。

$k > -2$ のとき、

$x \leqq \frac{27+k}{2(2+k)}$

$k < -2$ のとき、

$x \geqq \frac{27+k}{2(2+k)}$

問題文より、不等式を満たす最大の整数が $7$ であるので、

$k > -2$ の場合は、$7 \leqq x \leqq \frac{27+k}{2(2+k)} < 8$

$k < -2$ の場合は、$7 \geqq x \geqq \frac{27+k}{2(2+k)} > 6$

となる。

まず、$k > -2$ の場合を考える。

$7 \leqq \frac{27+k}{2(2+k)} < 8$

$14+14k \leqq 27+k < 32+16k$

$14+14k \leqq 27+k$ かつ $27+k < 32+16k$

$13k \leqq 13$ かつ $-5 < 15k$

$k \leqq 1$ かつ $-\frac{1}{3} < k$

$-\frac{1}{3} < k \leqq 1$

これは $k > -2$ の条件を満たしている。

次に、$k = -2$ の場合を考える。

$2(2+k)x \leqq 27 + k$ に代入すると、$0 \leqq 25$ となり、すべての $x$ が解となるので、題意を満たさない。

最後に、$k < -2$ の場合を考える。

このとき、不等式は $x \geqq \frac{27+k}{2(2+k)}$ となる。

したがって、不等式を満たす最大の整数が $7$ であるためには、不等式を満たす最小の整数が $7$ である必要がある。

$6 < \frac{27+k}{2(2+k)} \leqq 7$

$12+6k < 27+k \leqq 14+14k$

$12+6k < 27+k$ かつ $27+k \leqq 14+14k$

$5k < 15$ かつ $13 \leqq 13k$

$k < 3$ かつ $1 \leqq k$

$1 \leqq k < 3$

これは $k < -2$ の条件を満たさない。

したがって、$k$ の範囲は $-\frac{1}{3} < k \leqq 1$ となる。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{3} < k \leqq 1$