不等式 $x^2 + mx + m + 3 > 0$ がすべての実数 $x$ について成り立つような定数 $m$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

不等式 $x^2 + mx + m + 3 > 0$ がすべての実数 $x$ について成り立つような定数 $m$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

二次不等式 $ax^2 + bx + c > 0$ がすべての実数 $x$ について成り立つための条件は、$a > 0$ かつ判別式 $D = b^2 - 4ac < 0$ であることです。

この問題では、$a=1$, $b=m$, $c=m+3$ です。

$a=1 > 0$ は常に成り立つので、判別式 $D$ について考えます。

$D = m^2 - 4(1)(m+3) = m^2 - 4m - 12 < 0$

$m^2 - 4m - 12 = (m-6)(m+2) < 0$

よって、$-2 < m < 6$

3. 最終的な答え

$-2 < m < 6$