オイラーの公式を用いて以下の複素数の計算を行う問題です。 (1) $\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i}$ (2) $\frac{-\sqrt{3}+i}{-2+2i}$

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

オイラーの公式を用いて以下の複素数の計算を行う問題です。

(1) $\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i}$

(2) $\frac{-\sqrt{3}+i}{-2+2i}$

2. 解き方の手順

(1)

複素数の割り算を行うために、分母の複素共役を分母分子にかけます。

分母 $-1+\sqrt{3}i$ の複素共役は $-1-\sqrt{3}i$ です。

$\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i} = \frac{(-2+2i)(-1-\sqrt{3}i)}{(-1+\sqrt{3}i)(-1-\sqrt{3}i)}$

分子を展開します。

$(-2+2i)(-1-\sqrt{3}i) = 2 + 2\sqrt{3}i - 2i -2\sqrt{3}i^2 = 2 + 2\sqrt{3}i - 2i + 2\sqrt{3} = (2+2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3}-2)i$

分母を展開します。

$(-1+\sqrt{3}i)(-1-\sqrt{3}i) = (-1)^2 - (\sqrt{3}i)^2 = 1 - 3i^2 = 1 + 3 = 4$

したがって、

$\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i} = \frac{(2+2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3}-2)i}{4} = \frac{2+2\sqrt{3}}{4} + \frac{2\sqrt{3}-2}{4}i = \frac{1+\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}-1}{2}i$

(2)

複素数の割り算を行うために、分母の複素共役を分母分子にかけます。

分母 $-2+2i$ の複素共役は $-2-2i$ です。

$\frac{-\sqrt{3}+i}{-2+2i} = \frac{(-\sqrt{3}+i)(-2-2i)}{(-2+2i)(-2-2i)}$

分子を展開します。

$(-\sqrt{3}+i)(-2-2i) = 2\sqrt{3}+2\sqrt{3}i-2i-2i^2 = 2\sqrt{3}+2\sqrt{3}i-2i+2 = (2\sqrt{3}+2)+(2\sqrt{3}-2)i$

分母を展開します。

$(-2+2i)(-2-2i) = (-2)^2 - (2i)^2 = 4 - 4i^2 = 4 + 4 = 8$

したがって、

$\frac{-\sqrt{3}+i}{-2+2i} = \frac{(2\sqrt{3}+2)+(2\sqrt{3}-2)i}{8} = \frac{2\sqrt{3}+2}{8} + \frac{2\sqrt{3}-2}{8}i = \frac{\sqrt{3}+1}{4} + \frac{\sqrt{3}-1}{4}i$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1+\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}-1}{2}i$

(2) $\frac{\sqrt{3}+1}{4} + \frac{\sqrt{3}-1}{4}i$