$x$ についての不等式 $4k - 2x \le x + k - 6$ を満たす1桁の自然数が3個となるように、定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$x$ についての不等式 $4k - 2x \le x + k - 6$ を満たす1桁の自然数が3個となるように、定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、不等式を $x$ について解きます。

$4k - 2x \le x + k - 6$

$-2x - x \le k - 4k - 6$

$-3x \le -3k - 6$

$3x \ge 3k + 6$

$x \ge k + 2$

1桁の自然数は $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ の9個です。

不等式を満たす1桁の自然数が3個ということは、$k+2$ より大きいか等しい自然数が3個存在することになります。

つまり、1桁の自然数の中で、7, 8, 9 が解となる必要があります。

$x \ge k+2$ より、

$7 \ge k+2$ を満たす必要があり、$k+2$ は7以下でなければなりません。

また、$6 < k+2$ である必要があります。なぜなら、7, 8, 9だけが解となる必要があるからです。

したがって、以下の不等式が成り立ちます。

$6 < k+2 \le 7$

この不等式を解いて、$k$ の範囲を求めます。

$6 < k+2 \le 7$

$6 - 2 < k \le 7 - 2$

$4 < k \le 5$

3. 最終的な答え

$4 < k \le 5$