関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ において、$x$ の値が $t$ から $t+2$ まで増加するときの変化の割合が 4 である。このとき、$t$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{2}x^2$ において、$x$ の値が $t$ から $t+2$ まで増加するときの変化の割合が 4 である。このとき、$t$ の値を求める。

2. 解き方の手順

変化の割合は、$\frac{yの増加量}{xの増加量}$ で求められる。

まず、$x$ の値が $t$ のときの $y$ の値を求める。

$y_1 = \frac{1}{2}t^2$

次に、$x$ の値が $t+2$ のときの $y$ の値を求める。

$y_2 = \frac{1}{2}(t+2)^2$

$x$ の増加量は $(t+2) - t = 2$ である。

$y$ の増加量は $y_2 - y_1 = \frac{1}{2}(t+2)^2 - \frac{1}{2}t^2$ である。

変化の割合は、

$\frac{\frac{1}{2}(t+2)^2 - \frac{1}{2}t^2}{2} = 4$

$\frac{1}{2}(t+2)^2 - \frac{1}{2}t^2 = 8$

$(t+2)^2 - t^2 = 16$

$t^2 + 4t + 4 - t^2 = 16$

$4t + 4 = 16$

$4t = 12$

$t = 3$

3. 最終的な答え

$t = 3$