2つの不等式 $|2x-9| \ge 5$ と $3(x+2) \le 2(4k-1) - x$ を同時に満たす自然数 $x$ がちょうど5個となるような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

2つの不等式 $|2x-9| \ge 5$ と $3(x+2) \le 2(4k-1) - x$ を同時に満たす自然数 $x$ がちょうど5個となるような定数 $k$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの不等式を解きます。

一つ目の不等式：$|2x-9| \ge 5$

絶対値の不等式を解くと、

$2x-9 \ge 5$ または $2x-9 \le -5$

$2x \ge 14$ または $2x \le 4$

$x \ge 7$ または $x \le 2$

二つ目の不等式：$3(x+2) \le 2(4k-1) - x$

$3x + 6 \le 8k - 2 - x$

$4x \le 8k - 8$

$x \le 2k - 2$

2つの不等式を同時に満たす自然数 $x$ がちょうど5個となる条件を考える。$x$ は自然数なので、$x \le 2$ より $x=1, 2$ であり、$x \ge 7$ より $x=7, 8, 9, \dots$ である。$x \le 2k-2$ を満たすものが全部で5個であるためには、$x=1, 2, 7, 8, 9$ が解となり、$x=10$ は解とならない必要がある。

したがって、

$9 \le 2k - 2 < 10$

$11 \le 2k < 12$

$\frac{11}{2} \le k < 6$

$5.5 \le k < 6$

3. 最終的な答え

$5.5 \le k < 6$