不等式 $4x + 20 < 7k - 1 - 3x$ を満たす2桁の自然数 $x$ がちょうど5個となるように、定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

不等式 $4x + 20 < 7k - 1 - 3x$ を満たす2桁の自然数 $x$ がちょうど5個となるように、定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、不等式を $x$ について解く。

$4x + 20 < 7k - 1 - 3x$

$7x < 7k - 21$

$x < k - 3$

$x$ は2桁の自然数なので、$10 \le x \le 99$ である。不等式を満たす2桁の自然数が5個であることから、$x$ の範囲は $n, n+1, n+2, n+3, n+4$ と表せる。ただし、$n$ は10以上である。

このとき、$x$ の最大値は $n+4$ であり、$n+4 < k-3$ を満たし、$n+5 \ge k-3$ を満たす必要がある。

つまり、

$n+4 < k-3 \le n+5$

$n+7 < k \le n+8$

また、$x$ が最小となる $n$ は10以上なので、$10 \le n$ である。

$n$ は5個の2桁の自然数の中で最も小さい値なので、$x$ は10から始まる必要はなく、$x \ge 10$ であればよい。

したがって、$k-3 > 9$ である必要があり、$k>12$ となる。

また、5個の2桁の自然数の最大値は99以下なので、$n+4 \le 99$ より、$n \le 95$ となる。

不等式を満たす最小の2桁の自然数を $n$ とすると、不等式を満たす2桁の自然数は $n, n+1, n+2, n+3, n+4$ の5個である。したがって、

$n \ge 10$ かつ $n+4 < k-3 \le n+5$ かつ $n+4 \le 99$ かつ $n+5 > 99$ とならない。

$n+4 \le 99$ より $n \le 95$ である。

$n+5$ は不等式を満たさない最小の整数だから $n+5$ は2桁の整数を超えない。

したがって、$n+5 > 99$ となることはない。

5個の2桁の自然数が存在する条件は、最小の数が10以上で、最大の数が99以下であること。

$10 \le n$

$n+4 \le 99$

$n \le 95$

ここで、$n+4 < k-3 \le n+5$ より、$n < k-7 \le n+1$ となる。

不等式を満たす最小の2桁の自然数を10とすると、$10+4 < k-3 \le 10+5$ となり、$14 < k-3 \le 15$ より $17 < k \le 18$。

不等式を満たす最大の2桁の自然数を99とすると、$99 < k-3$ という条件を満たす必要がある。

$k > 102$ となるが、これは上記の条件と矛盾する。

$x$ が10から始まる場合、$x$ の値は $10, 11, 12, 13, 14$。よって $14 < k-3 \le 15$ となり、$17 < k \le 18$。

$x$ が95から始まる場合、$x$ の値は $95, 96, 97, 98, 99$。よって $99 < k-3 \le 100$ となり、$102 < k \le 103$。

したがって、$k$ の範囲は $17 < k \le 18$ または $102 < k \le 103$。

上記の条件を満たす$x$ が5個であるためには、$x = 10, 11, 12, 13, 14$ が条件を満たすか、$x=95,96,97,98,99$が条件を満たすかのどちらか。

$14 < k-3 \le 15$

$17 < k \le 18$

あるいは、$x=95, 96, 97, 98, 99$

$99 < k-3 \le 100$

$102 < k \le 103$

3. 最終的な答え

$17 < k \le 18$ または $102 < k \le 103$