与えられた複素数の割り算 $\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i}$ を、オイラーの公式を用いて計算せよ。

1. 問題の内容

与えられた複素数の割り算 $\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i}$ を、オイラーの公式を用いて計算せよ。

2. 解き方の手順

まず、分子と分母をそれぞれ極形式で表す。

分子 $-2 + 2i$ について：

絶対値 $r_1 = \sqrt{(-2)^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

偏角 $\theta_1$ は、$\tan \theta_1 = \frac{2}{-2} = -1$ であり、$-2+2i$ が第2象限にあることから、$\theta_1 = \frac{3}{4}\pi$

よって、$-2+2i = 2\sqrt{2}e^{i\frac{3}{4}\pi}$

分母 $-1 + \sqrt{3}i$ について：

絶対値 $r_2 = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = \sqrt{4} = 2$

偏角 $\theta_2$ は、$\tan \theta_2 = \frac{\sqrt{3}}{-1} = -\sqrt{3}$ であり、$-1+\sqrt{3}i$ が第2象限にあることから、$\theta_2 = \frac{2}{3}\pi$

よって、$-1+\sqrt{3}i = 2e^{i\frac{2}{3}\pi}$

したがって、

$\frac{-2+2i}{-1+\sqrt{3}i} = \frac{2\sqrt{2}e^{i\frac{3}{4}\pi}}{2e^{i\frac{2}{3}\pi}} = \sqrt{2}e^{i(\frac{3}{4}\pi - \frac{2}{3}\pi)} = \sqrt{2}e^{i(\frac{9-8}{12}\pi)} = \sqrt{2}e^{i\frac{1}{12}\pi}$

オイラーの公式より、$e^{i\frac{1}{12}\pi} = \cos(\frac{\pi}{12}) + i\sin(\frac{\pi}{12})$

$\cos(\frac{\pi}{12}) = \cos(15^\circ) = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos 45^\circ \cos 30^\circ + \sin 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\sin(\frac{\pi}{12}) = \sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

よって、

$\sqrt{2}e^{i\frac{1}{12}\pi} = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} + i\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}) = \frac{\sqrt{12}+2}{4} + i\frac{\sqrt{12}-2}{4} = \frac{2\sqrt{3}+2}{4} + i\frac{2\sqrt{3}-2}{4} = \frac{\sqrt{3}+1}{2} + i\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{3}+1}{2} + i\frac{\sqrt{3}-1}{2}$