一定の割合で燃えるろうそくがあり、火をつけてから6分後に11cm、10分後に9cmになった。火をつけてから$x$分後のろうそくの長さを$y$ cmとして、以下の問いに答える。 (1) 1分間に燃える長さを求める。 (2) $y$を$x$の式で表す。 (3) ろうそくが燃えつきるのは、火をつけてから何分後かを求める。

1. 問題の内容

一定の割合で燃えるろうそくがあり、火をつけてから6分後に11cm、10分後に9cmになった。火をつけてから$x$分後のろうそくの長さを$y$ cmとして、以下の問いに答える。

(1) 1分間に燃える長さを求める。

(2) $y$を$x$の式で表す。

(3) ろうそくが燃えつきるのは、火をつけてから何分後かを求める。

2. 解き方の手順

(1) 6分後から10分後までの4分間で、ろうそくの長さは11cmから9cmへと2cm短くなっている。

したがって、1分間に燃える長さは、2cm ÷ 4分 = 0.5 cm/分。

(2) $y$を$x$の式で表す。ろうそくの長さは1次関数で表されるので、$y = ax + b$とおくことができる。

問題文より、$x = 6$のとき$y = 11$、$x = 10$のとき$y = 9$なので、これらの値を代入して連立方程式を立てる。

$11 = 6a + b$

$9 = 10a + b$

この連立方程式を解く。

下の式から上の式を引くと、

$9 - 11 = (10a + b) - (6a + b)$

$-2 = 4a$

$a = -0.5$

これを$11 = 6a + b$に代入すると、

$11 = 6(-0.5) + b$

$11 = -3 + b$

$b = 14$

したがって、$y = -0.5x + 14$

(3) ろうそくが燃えつきるのは、$y = 0$のときなので、

$0 = -0.5x + 14$

$0.5x = 14$

$x = 28$

3. 最終的な答え

(1) 1分間に燃える長さ: 0.5 cm

(2) $y$を$x$の式で表す: $y = -0.5x + 14$

(3) ろうそくが燃えつきる時間: 28分後