与えられた式に基づき、分数関数の分解を行う問題です。具体的には、$\frac{3}{2x^2 + x - 1}$ を $\frac{a}{2x-1} + \frac{b}{x+1}$ の形に分解し、$a$ と $b$ の値を求めることが目的です。与えられた式は $\frac{3}{2x^2+x-1} = \frac{2}{2x-1} - \frac{1}{x+1}$ です。

代数学部分分数分解分数式因数分解
2025/7/22

1. 問題の内容

与えられた式に基づき、分数関数の分解を行う問題です。具体的には、32x2+x1\frac{3}{2x^2 + x - 1}a2x1+bx+1\frac{a}{2x-1} + \frac{b}{x+1} の形に分解し、aabb の値を求めることが目的です。与えられた式は 32x2+x1=22x11x+1\frac{3}{2x^2+x-1} = \frac{2}{2x-1} - \frac{1}{x+1} です。

2. 解き方の手順

まず、2x2+x12x^2 + x - 1(2x1)(x+1)(2x-1)(x+1) と因数分解できることを確認します。次に、3(2x1)(x+1)\frac{3}{(2x-1)(x+1)} を部分分数分解します。つまり、以下の形を目指します。
3(2x1)(x+1)=A2x1+Bx+1\frac{3}{(2x-1)(x+1)} = \frac{A}{2x-1} + \frac{B}{x+1}
両辺に (2x1)(x+1)(2x-1)(x+1) をかけると、
3=A(x+1)+B(2x1)3 = A(x+1) + B(2x-1)
この式が xx の値によらず成り立つように、AABB の値を決定します。
x=1x = -1 を代入すると、
3=A(0)+B(21)3 = A(0) + B(-2-1)
3=3B3 = -3B
B=1B = -1
x=12x = \frac{1}{2} を代入すると、
3=A(12+1)+B(0)3 = A(\frac{1}{2} + 1) + B(0)
3=A(32)3 = A(\frac{3}{2})
A=2A = 2
したがって、
32x2+x1=22x11x+1\frac{3}{2x^2 + x - 1} = \frac{2}{2x-1} - \frac{1}{x+1}

3. 最終的な答え

32x2+x1=22x11x+1\frac{3}{2x^2 + x - 1} = \frac{2}{2x-1} - \frac{1}{x+1}

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