この問題は、以下の3つの小問から構成されています。 (1) 2次式の因数分解 (2) 2変数の2次式の因数分解 (3) $x$ と $y$ が与えられた時の、$x+y$ と $xy$ の値を求める (4) 不等式を解く

1. 問題の内容

この問題は、以下の3つの小問から構成されています。

(1) 2次式の因数分解

(2) 2変数の2次式の因数分解

(3) $x$ と $y$ が与えられた時の、$x+y$ と $xy$ の値を求める

(4) 不等式を解く

2. 解き方の手順

(1) $6x^2 - 11x - 10$ の因数分解：

定数項が-10であることから、$6x^2 - 11x - 10 = (ax+b)(cx+d)$とおくと、$ac=6$、$bd=-10$となる。

$ac=6$を満たす整数の組は$(1,6),(2,3),(3,2),(6,1)$

$bd=-10$を満たす整数の組は$(1,-10),(2,-5),(5,-2),(10,-1),(-1,10),(-2,5),(-5,2),(-10,1)$

これらを組み合わせて、$ad+bc=-11$となる組み合わせを探す。

$(2x-5)(3x+2) = 6x^2+4x-15x-10 = 6x^2 -11x -10$

よって、$6x^2 - 11x - 10 = (2x-5)(3x+2)$

(2) $x^2 - xy - 6y^2 - 4x + 7y + 3$ の因数分解：

まず、$x^2 - xy - 6y^2$を因数分解すると、$(x-3y)(x+2y)$となる。

$x^2 - xy - 6y^2 - 4x + 7y + 3 = (x-3y+A)(x+2y+B)$とおき、展開して係数比較を行う。

$(x-3y+A)(x+2y+B) = x^2 - xy - 6y^2 + (A+B)x + (-3B+2A)y + AB$

$A+B=-4$

$2A-3B=7$

これを解くと$5A=-5$, $A=-1$, $B=-3$

したがって、$x^2 - xy - 6y^2 - 4x + 7y + 3 = (x-3y-1)(x+2y-3)$

(3) $x+y$と$xy$の値の計算：

$x = \frac{2}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$と$y = \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{3}}$が与えられている。

まず、$x$と$y$を有理化する。

$x = \frac{2}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{2} - \sqrt{3})}{(\sqrt{2} + \sqrt{3})(\sqrt{2} - \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{2} - \sqrt{3})}{2-3} = -2(\sqrt{2} - \sqrt{3}) = -2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$

$y = \frac{2}{\sqrt{2} - \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{(\sqrt{2} - \sqrt{3})(\sqrt{2} + \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{2} + \sqrt{3})}{2-3} = -2(\sqrt{2} + \sqrt{3}) = -2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}$

$x+y = (-2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}) + (-2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) = -4\sqrt{2}$

$xy = (-2\sqrt{2} + 2\sqrt{3})(-2\sqrt{2} - 2\sqrt{3}) = (4 \cdot 2 - 4 \cdot 3) = 8 - 12 = -4$

(4) 不等式の解：

$0.4 < 0.1x+1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$

まず、$0.4 < 0.1x+1$を解く。

$0.4 < 0.1x+1$

$-0.6 < 0.1x$

$-6 < x$

次に、$0.1x+1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$を解く。

$0.1x + 1 < \frac{x}{2} + \frac{7}{5}$

$0.1x+1 < 0.5x + 1.4$

$-0.4 < 0.4x$

$-1 < x$

$\frac{x}{2} + \frac{7}{5} > 0.1x+1$

$\frac{x}{2}+1.4 > 0.1x+1$

$\frac{x}{2}-0.1x > -0.4$

$0.5x - 0.1x > -0.4$

$0.4x>-0.4$

$x > -1$

$0.1x + 1 < \frac{x}{2}+\frac{7}{5}$

両辺に10をかけて、$x + 10 < 5x + 14$

$-4<4x$

$-1<x$

ゆえに、$x > -1$

3. 最終的な答え

(1) キ=2, ク=5, ケ=3, コ=2

(2) サ=-3, シ=-1, ス=2, セ=-3

(3) ソタ=-4, チ=2, ツテ=-4

(4) トナ=-1