6次対称群 $S_6$ の元 $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$, $\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 1 & 5 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ について、以下の問題を解きます。 (1) $\tau \sigma$ を求めよ。 (2) $\sigma^{-1}$ を求めよ。 (3) $\sigma$ を互換の積で表せ。 (4) $\mathrm{sgn}(\sigma)$ を求めよ。

1. 問題の内容

6次対称群 $S_6$ の元 $\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$, $\tau = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 6 & 1 & 5 & 3 & 4 & 2 \end{pmatrix}$ について、以下の問題を解きます。

(1) $\tau \sigma$ を求めよ。

(2) $\sigma^{-1}$ を求めよ。

(3) $\sigma$ を互換の積で表せ。

(4) $\mathrm{sgn}(\sigma)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\tau \sigma$ を求める。

$\tau \sigma$ は、$\sigma$ を先に適用し、その結果に $\tau$ を適用することで計算します。

1 → 2 → 1

2 → 4 → 3

3 → 5 → 4

4 → 6 → 2

5 → 1 → 6

6 → 3 → 5

よって、

$\tau \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 4 & 2 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

(2) $\sigma^{-1}$ を求める。

$\sigma^{-1}$ は、$\sigma$ の上下を入れ替えて、上の行が昇順になるように並べ替えることで計算します。

$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$

並べ替えると、

$\sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 1 & 6 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

(3) $\sigma$ を互換の積で表す。

$\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 4 & 5 & 6 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

$\sigma$ は巡回置換で $(1\ 2\ 4\ 6\ 3\ 5)$ と表せます。

巡回置換は互換の積で以下のように表せます。

$(1\ 2\ 4\ 6\ 3\ 5) = (1\ 2)(2\ 4)(4\ 6)(6\ 3)(3\ 5)$

したがって、$\sigma = (1\ 2)(2\ 4)(4\ 6)(6\ 3)(3\ 5)$

(4) $\mathrm{sgn}(\sigma)$ を求める。

互換の積で表したときの互換の個数が偶数個なら $\mathrm{sgn}(\sigma) = 1$, 奇数個なら $\mathrm{sgn}(\sigma) = -1$ となります。

$\sigma = (1\ 2)(2\ 4)(4\ 6)(6\ 3)(3\ 5)$ は互換の積で表すと5個の互換の積なので、$\mathrm{sgn}(\sigma) = -1$

3. 最終的な答え

(1) $\tau \sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 3 & 4 & 2 & 6 & 5 \end{pmatrix}$

(2) $\sigma^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 5 & 1 & 6 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$

(3) $\sigma = (1\ 2)(2\ 4)(4\ 6)(6\ 3)(3\ 5)$

(4) $\mathrm{sgn}(\sigma) = -1$