$x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}$のとき、次の値を求めよ。 (1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ (2) $x^3 + \frac{1}{x^3}$ (3) $x^4 + \frac{1}{x^4}$

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

**問題13**

1. 問題の内容

$x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}$のとき、次の値を求めよ。

(1) $x^2 + \frac{1}{x^2}$

(2) $x^3 + \frac{1}{x^3}$

(3) $x^4 + \frac{1}{x^4}$

2. 解き方の手順

(1)

$x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}$ の両辺を2乗する。

$(x + \frac{1}{x})^2 = (\sqrt{5})^2$

$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 5$

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 5$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 5 - 2 = 3$

(2)

$x + \frac{1}{x} = \sqrt{5}$ の両辺を3乗する。

$(x + \frac{1}{x})^3 = (\sqrt{5})^3$

$x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x} + 3 \cdot x \cdot \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} = 5\sqrt{5}$

$x^3 + 3x + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^3} = 5\sqrt{5}$

$x^3 + \frac{1}{x^3} + 3(x + \frac{1}{x}) = 5\sqrt{5}$

$x^3 + \frac{1}{x^3} + 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$

$x^3 + \frac{1}{x^3} = 5\sqrt{5} - 3\sqrt{5} = 2\sqrt{5}$

(3)

(1)より、$x^2 + \frac{1}{x^2} = 3$

両辺を2乗する。

$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = 3^2$

$x^4 + 2 \cdot x^2 \cdot \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^4} = 9$

$x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} = 9$

$x^4 + \frac{1}{x^4} = 9 - 2 = 7$

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) $2\sqrt{5}$

(3) 7

**問題14**

1. 問題の内容

$x+y+z = xy+yz+zx = 2\sqrt{2}+1$, $xyz = 1$ を満たす実数 $x, y, z$ に対して、次の式の値を求めよ。

(1) $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}$

(2) $x^2 + y^2 + z^2$

(3) $x^3 + y^3 + z^3$

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{xy + yz + zx}{xyz}$

条件より、$xy+yz+zx = 2\sqrt{2}+1$ および $xyz=1$ であるから、

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{2\sqrt{2}+1}{1} = 2\sqrt{2}+1$

(2)

$(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+zx)$

$x^2 + y^2 + z^2 = (x+y+z)^2 - 2(xy+yz+zx)$

条件より、$x+y+z = 2\sqrt{2}+1$ および $xy+yz+zx = 2\sqrt{2}+1$ であるから、

$x^2 + y^2 + z^2 = (2\sqrt{2}+1)^2 - 2(2\sqrt{2}+1)$

$= (8 + 4\sqrt{2} + 1) - (4\sqrt{2} + 2) = 9 + 4\sqrt{2} - 4\sqrt{2} - 2 = 7$

(3)

$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$

$x^3 + y^3 + z^3 = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) + 3xyz$

条件より、$x+y+z = 2\sqrt{2}+1$, $x^2 + y^2 + z^2 = 7$, $xy+yz+zx=2\sqrt{2}+1$ および $xyz=1$ であるから、

$x^3 + y^3 + z^3 = (2\sqrt{2}+1)(7-(2\sqrt{2}+1)) + 3(1)$

$= (2\sqrt{2}+1)(7-2\sqrt{2}-1) + 3 = (2\sqrt{2}+1)(6-2\sqrt{2}) + 3$

$= 12\sqrt{2}-8+6-2\sqrt{2} + 3 = 10\sqrt{2} + 1$

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{2}+1$

(2) 7

(3) $10\sqrt{2} + 1$

**問題15**

1. 問題の内容

$a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$のとき、次の式の値を求めよ。

(1) $a^2 - a - 1$

(2) $a^4 + a^3 + a^2 + a + 1$

2. 解き方の手順

(1)

$a = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ より、$2a = 1 + \sqrt{5}$

$2a - 1 = \sqrt{5}$

$(2a - 1)^2 = (\sqrt{5})^2$

$4a^2 - 4a + 1 = 5$

$4a^2 - 4a - 4 = 0$

$a^2 - a - 1 = 0$

(2)

$a^2 - a - 1 = 0$ より、$a^2 = a+1$

$a^3 = a \cdot a^2 = a(a+1) = a^2 + a = (a+1) + a = 2a+1$

$a^4 = a \cdot a^3 = a(2a+1) = 2a^2 + a = 2(a+1) + a = 3a+2$

$a^4 + a^3 + a^2 + a + 1 = (3a+2) + (2a+1) + (a+1) + a + 1 = 7a+5$

$a = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$を代入する。

$7a+5 = 7(\frac{1+\sqrt{5}}{2}) + 5 = \frac{7 + 7\sqrt{5}}{2} + \frac{10}{2} = \frac{17 + 7\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $\frac{17 + 7\sqrt{5}}{2}$