確率変数 $X$ と $Y$ は互いに独立であり、それぞれの確率分布が表で与えられています。$X+Y$ の分散 $V(X+Y)$ を求め、その値を36で割ったときの分子を求めます。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ と $Y$ は互いに独立であり、それぞれの確率分布が表で与えられています。$X+Y$ の分散 $V(X+Y)$ を求め、その値を36で割ったときの分子を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$X$ と $Y$ の期待値 $E(X)$ と $E(Y)$、および分散 $V(X)$ と $V(Y)$ をそれぞれ計算します。

$E(X) = 1 \cdot \frac{2}{9} + 2 \cdot \frac{5}{9} + 3 \cdot \frac{2}{9} = \frac{2+10+6}{9} = \frac{18}{9} = 2$

$E(Y) = 0 \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{2}{6} + 2 \cdot \frac{2}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{0+2+4+3}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

$E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{2}{9} + 2^2 \cdot \frac{5}{9} + 3^2 \cdot \frac{2}{9} = \frac{2+20+18}{9} = \frac{40}{9}$

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{40}{9} - 2^2 = \frac{40}{9} - 4 = \frac{40-36}{9} = \frac{4}{9}$

$E(Y^2) = 0^2 \cdot \frac{1}{6} + 1^2 \cdot \frac{2}{6} + 2^2 \cdot \frac{2}{6} + 3^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{0+2+8+9}{6} = \frac{19}{6}$

$V(Y) = E(Y^2) - (E(Y))^2 = \frac{19}{6} - (\frac{3}{2})^2 = \frac{19}{6} - \frac{9}{4} = \frac{38 - 27}{12} = \frac{11}{12}$

$X$ と $Y$ が独立であることから、$V(X+Y) = V(X) + V(Y)$ が成り立ちます。

したがって、$V(X+Y) = \frac{4}{9} + \frac{11}{12} = \frac{16+33}{36} = \frac{49}{36}$

3. 最終的な答え

49