次の不定積分を計算します。 $\int \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} dx$

1. 問題の内容

次の不定積分を計算します。

$\int \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} dx$

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。$t = \sqrt{x}$ とおくと、$x = t^2$ なので、$dx = 2t dt$ となります。

したがって、

$\int \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} dx = \int \frac{t}{1+t} 2t dt = 2\int \frac{t^2}{1+t} dt$

ここで、被積分関数を整理するために、分子を分母で割ります。

$t^2 = (t+1)(t-1) + 1$ より、$\frac{t^2}{1+t} = \frac{(t+1)(t-1)+1}{1+t} = t-1+\frac{1}{1+t}$

したがって、

$2\int \frac{t^2}{1+t} dt = 2\int (t-1+\frac{1}{1+t}) dt = 2\left(\frac{t^2}{2} - t + \ln|1+t|\right) + C = t^2 - 2t + 2\ln|1+t| + C$

最後に、$t = \sqrt{x}$ を代入すると、

$t^2 - 2t + 2\ln|1+t| + C = x - 2\sqrt{x} + 2\ln|1+\sqrt{x}| + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}} dx = x - 2\sqrt{x} + 2\ln(1+\sqrt{x}) + C$