与えられた3つの定積分を計算します。 (1) $\int \frac{1}{x^3-7x+6} dx$ (2) $\int \frac{1}{\sqrt{-x^2+2x+3}} dx$ (3) $\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+(\cos x)^2} dx$

1. 問題の内容

与えられた3つの定積分を計算します。

(1) $\int \frac{1}{x^3-7x+6} dx$

(2) $\int \frac{1}{\sqrt{-x^2+2x+3}} dx$

(3) $\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+(\cos x)^2} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{1}{x^3-7x+6} dx$

まず、分母を因数分解します。$x^3 - 7x + 6 = (x-1)(x-2)(x+3)$.

次に、部分分数分解を行います。

$\frac{1}{(x-1)(x-2)(x+3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{x+3}$

$1 = A(x-2)(x+3) + B(x-1)(x+3) + C(x-1)(x-2)$

$x=1$ のとき: $1 = A(-1)(4) \Rightarrow A = -1/4$

$x=2$ のとき: $1 = B(1)(5) \Rightarrow B = 1/5$

$x=-3$ のとき: $1 = C(-4)(-5) \Rightarrow C = 1/20$

したがって、

$\frac{1}{x^3-7x+6} = \frac{-1/4}{x-1} + \frac{1/5}{x-2} + \frac{1/20}{x+3}$

積分すると、

$\int \frac{1}{x^3-7x+6} dx = -\frac{1}{4} \ln|x-1| + \frac{1}{5} \ln|x-2| + \frac{1}{20} \ln|x+3| + C$

(2) $\int \frac{1}{\sqrt{-x^2+2x+3}} dx$

平方完成します。 $-x^2+2x+3 = -(x^2-2x) + 3 = -(x^2-2x+1) + 1 + 3 = 4 - (x-1)^2$

よって、 $\int \frac{1}{\sqrt{4-(x-1)^2}} dx$

$x-1 = 2\sin\theta$ と置換すると、$dx = 2\cos\theta d\theta$.

$\int \frac{1}{\sqrt{4-4\sin^2\theta}} 2\cos\theta d\theta = \int \frac{2\cos\theta}{2\cos\theta} d\theta = \int 1 d\theta = \theta + C$

$\theta = \arcsin(\frac{x-1}{2})$ より、 $\int \frac{1}{\sqrt{-x^2+2x+3}} dx = \arcsin(\frac{x-1}{2}) + C$

(3) $\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+(\cos x)^2} dx$

ヒントに従い、$x = \pi - t$ と置換すると、$dx = -dt$.

積分区間は $x: 0 \to \pi$ から $t: \pi \to 0$ となります。

$\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+(\cos x)^2} dx = \int_\pi^0 \frac{(\pi-t)\sin(\pi-t)}{1+\cos^2(\pi-t)} (-dt) = \int_0^\pi \frac{(\pi-t)\sin t}{1+(-\cos t)^2} dt = \int_0^\pi \frac{\pi \sin t - t \sin t}{1+\cos^2 t} dt$

$= \pi \int_0^\pi \frac{\sin t}{1+\cos^2 t} dt - \int_0^\pi \frac{t \sin t}{1+\cos^2 t} dt$

元の積分を $I$ とおくと、 $I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin t}{1+\cos^2 t} dt - I$

$2I = \pi \int_0^\pi \frac{\sin t}{1+\cos^2 t} dt$

$u = \cos t$ と置換すると、$du = -\sin t dt$. 積分区間は $t: 0 \to \pi$ から $u: 1 \to -1$.

$\int_0^\pi \frac{\sin t}{1+\cos^2 t} dt = \int_1^{-1} \frac{-1}{1+u^2} du = \int_{-1}^1 \frac{1}{1+u^2} du = [\arctan u]_{-1}^1 = \arctan(1) - \arctan(-1) = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}$

したがって、$2I = \pi \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2}$

$I = \frac{\pi^2}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{4} \ln|x-1| + \frac{1}{5} \ln|x-2| + \frac{1}{20} \ln|x+3| + C$

(2) $\arcsin(\frac{x-1}{2}) + C$

(3) $\frac{\pi^2}{4}$