次の極限を求めます： $\lim_{x \to 1} \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{\log x} \right)$

## (1) の問題

1. 問題の内容

次の極限を求めます：

$\lim_{x \to 1} \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{\log x} \right)$

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を通分します：

$\lim_{x \to 1} \left( \frac{\log x - (x-1)}{(x-1) \log x} \right)$

$x = 1 + h$ とおくと、$x \to 1$ のとき $h \to 0$ なので、

$\lim_{h \to 0} \left( \frac{\log(1+h) - h}{h \log(1+h)} \right)$

ここで、$\log(1+h)$ のマクローリン展開 $\log(1+h) = h - \frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{3} - \cdots$ を用いると、

$\lim_{h \to 0} \left( \frac{(h - \frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{3} - \cdots) - h}{h (h - \frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{3} - \cdots)} \right)$

$\lim_{h \to 0} \left( \frac{-\frac{h^2}{2} + \frac{h^3}{3} - \cdots}{h^2 - \frac{h^3}{2} + \cdots} \right)$

分子と分母を $h^2$ で割ると、

$\lim_{h \to 0} \left( \frac{-\frac{1}{2} + \frac{h}{3} - \cdots}{1 - \frac{h}{2} + \cdots} \right)$

$h \to 0$ のとき、

$\frac{-\frac{1}{2}}{1} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2}$

## (2) の問題

1. 問題の内容

次の極限を求めます：

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\sin x)^{\tan x}$

2. 解き方の手順

$y = (\sin x)^{\tan x}$ とおくと、

$\log y = \tan x \log(\sin x)$

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \log y = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \tan x \log(\sin x)$

$x = \frac{\pi}{2} - h$ とおくと、$x \to \frac{\pi}{2}$ のとき $h \to 0$ なので、

$\lim_{h \to 0} \tan(\frac{\pi}{2} - h) \log(\sin(\frac{\pi}{2} - h)) = \lim_{h \to 0} \cot h \log(\cos h)$

$\lim_{h \to 0} \frac{\log(\cos h)}{\tan h}$

これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を用いると、

$\lim_{h \to 0} \frac{\frac{-\sin h}{\cos h}}{\frac{1}{\cos^2 h}} = \lim_{h \to 0} (-\sin h \cos h) = 0$

したがって、$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \log y = 0$

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} y = e^0 = 1$

3. 最終的な答え

1

## (3) の問題

1. 問題の内容

次の極限を求めます：

$\lim_{x \to 0} x^{\frac{1}{\log(e^x - 1)}}$

2. 解き方の手順

$y = x^{\frac{1}{\log(e^x - 1)}}$ とおくと、

$\log y = \frac{\log x}{\log(e^x - 1)}$

$\lim_{x \to 0} \log y = \lim_{x \to 0} \frac{\log x}{\log(e^x - 1)}$

ここで、$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \dots$ より、$e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2} + \dots \approx x$ （$x \to 0$ のとき）

$\lim_{x \to 0} \frac{\log x}{\log x} = 1$

したがって、$\lim_{x \to 0} \log y = 1$

$\lim_{x \to 0} y = e^1 = e$

3. 最終的な答え

e

## (4) の問題

1. 問題の内容

次の極限を求めます：

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{\tan x}}{x - \tan x}$

2. 解き方の手順

ロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{\tan x} \sec^2 x}{1 - \sec^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{\tan x} \sec^2 x}{-\tan^2 x}$

さらにロピタルの定理を使うと、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{\tan x} \sec^4 x - e^{\tan x} (2 \sec x) (\sec x \tan x)}{-2 \tan x \sec^2 x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{\tan x} \sec^4 x - 2 e^{\tan x} \sec^2 x \tan x}{-2 \tan x \sec^2 x}$

これはまだ $0/0$ の不定形なので、もう一度ロピタルの定理を適用するか、テイラー展開を適用することで解くことができます。

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \dots$

$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \dots$

$e^{\tan x} = 1 + (x + \frac{x^3}{3}) + \frac{1}{2} (x + \frac{x^3}{3})^2 + \frac{1}{6} (x + \frac{x^3}{3})^3 + \dots = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \dots$

$e^x - e^{\tan x} = (1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \dots) - (1 + x + \frac{x^2}{2} - \dots)=O(x^3)$

$x - \tan x = x - (x + \frac{x^3}{3} + \dots) = - \frac{x^3}{3} + \dots$

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{\tan x}}{x - \tan x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^3}{6}}{-\frac{x^3}{3}} = -\frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{2}$